2.3.3点到直线的距离公式 2.3.4两条平行直线间的距离（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#2．3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 学业标准 1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点) 2．会求点到直线距离公式．(重点) 3．会解决两条平行线间的距离等问题．(难点) [教材梳理] 导学1 点到直线的距离公式 　在直角坐标系中，已知若P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是点P到直线l的垂线段的长度？ [提示]　是． 　若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ [提示]　过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求，直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，所以l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|. 　问题2的方法可行但计算量大，还有没有另外的思路？ [提示]　如图，构造Rt△P0RS，分别求出|P0R|，|P0S|及|RS|，然后用等面积转化法求d. 　如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n? [提示]　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量．把Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量． 　如图所示，设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，那么点P到直线l的距离应如何表示？ [提示]　点P到直线l的距离 |PQ|＝||＝|·n|＝. ◎结论形成 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 导学2 两条平行直线间的距离 　若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到直线l的距离与l′与l的距离相等吗？ [提示]　相等． 　怎样求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离？ [提示]　先在其中一条直线上任取一点P，然后求点P到另一条直线的距离d，d即为两平行直线间的距离． ◎结论形成 两条平行线间的距离 (1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． (2)求法：两平行线间的距离可转化为点到直线的距离． (3)结论：两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝. [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　　) 解析　(1)×.应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即本问题的距离为. (2)√.因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离． (3)√. 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　) A．－1或5　　　　　　　 B．1或－5 C．1 D．－5 解析　由点到直线的距离公式得＝，所以a＝－1或5. 答案　A 3．两条平行直线5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D．1 解析　由两平行线间的距离公式可得： d＝＝. 答案　C 4．已知l1：x－y＋1＝0，l2：x－y－1＝0，则l1与l2之间的距离为________． 解析　由题意知两直线平行， 所以d＝＝＝. 答案　 题型一　点到直线的距离公式及应用 　(1)若点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C．－或－ D．或 (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． [自主解答]　(1)　由点到直线的距离公式得＝， 解得a＝－或a＝－. (2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知 d＝＝＝. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. [答案]　(1)C　(2)略 [规律方法] 点到直线的距离公式的应用 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出