2.1.1倾斜角与斜率（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

　直线的倾斜角与斜率 #2．1.1　倾斜角与斜率 学业标准 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．掌握倾斜角与斜率的对应关系．(重点) 3．掌握过两点的直线的斜率公式．(重点) 4．掌握直线的斜率与方向向量的关系．(难点) [教材梳理] 导学1 直线的倾斜角 　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ [提示]　不能． 　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如下图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ [提示]　不同． ◎结论形成 1．直线的倾斜角的定义 2．直线的倾斜角α的范围：0°≤α＜180°. 3．倾斜程度相同的直线，其倾斜角必相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等. 导学2 直线的斜率 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. 　已知直线l经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ [提示]　tan α＝＝. 　类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标又有什么关系？ [提示]　tan α＝＝1－. 　一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？ [提示]　tan α＝. ◎结论形成 斜率的概念与斜率公式 定义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值 α＝90° 斜率不存在 记法 k，即k＝tan_α(α≠90°) 范围 R 公式 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝； (2)若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝ 作用 实数反映了平面直角坐标系内直线的倾斜程度 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有直线都有倾斜角和斜率．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (4)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(　　) 解析　(1)×.所有直线都有倾斜角，但在倾斜角为90°的直线斜率不存在． (2)×.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应． (3)√.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和倾斜角α. (4)×.当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．如图，直线l与y轴正向之间的夹角为30°，则直线的倾斜角为(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．45° D．不确定 解析　由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为60°. 答案　B 3．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是(　　) A．45°，1 B．135°，－1 C．90°，不存在 D．180°，不存在 解析　∵直线x＝1与y轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案　C 4．直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，且斜率为2，则实数m的值为________． 解析　根据题意，直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，则其斜率k＝＝2，解得m＝3. 答案　3 题型一　直线的倾斜角 　(1)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135° (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________． [自主解答]　(1)根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面， 不合题意，通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. (2)设直线l2的倾斜角为α2，由l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°. [答案]　(1)D　(2)135° [规律方法] 求直线倾斜角的方法及关注点 [触类旁通] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　　 B．180°－α C．90°－α，180°－α D．90°＋α，90°－α 解析　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当