1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 学业标准 1.掌握利用空间向量求点、线、面间的距离公式和推导方法． 2．会用空间向量解决有关距离的问题．(重点) [教材梳理] 导学1 用向量法求点到直线的距离 　空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，应如何用向量方法求它们之间的距离？ [提示]　P1P2＝|| ＝. 　如何求直线外一点P到直线l的距离？ [提示]　我们可以由点P向直线l作垂线，得垂足Q，则PQ的长度即为点P到直线l的距离． 　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，能否利用这些条件求点P到直线l的距离？ [提示]　能. 如图所示， 向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形．因为A，P都是定点，所以||，与u的夹角∠PAQ都是确定的．于是可求||.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ. 　如何用向量法求两条平行直线间的距离？ [提示]　从其中一条直线上取点P，然后求点P到另一条直线的距离即可． ◎结论形成 1．点P到直线l的距离 d＝＝.(已知u为直线l的单位方向向量，A是直线上l的定点，P是直线l外一点，设＝a) 2．两平行直线a，b 之间的距离 d＝.(A∈a，P∈b，u为直线a的单位方向向量) 导学2 用向量法求点到平面的距离 　点到平面的距离是如何定义的？ [提示]　一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． 　如图，所示已知平面α的法向量为 n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．应如何求点P到平面α的距离？ [提示]　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 　能否将线面距离及两平行平面的距离转化为点到平面的距离？ [提示]　能．直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离，两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离． ◎结论形成 1．平面外点P到平面α的距离为 d＝，其中A∈α，n为平面α的法向量． 2．平行于平面α的直线l与平面α之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈l，n是平面α的法向量． 3．两平行平面α，β之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α的法向量． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两平行平面之间的距离就是一个平面内任意一点到另一个平面的距离．(　　) (2)点P到平面α的距离公式是d＝，其中A为平面α内任意一点，n为平面α的一个法向量．(　　) (3)点P到直线l的距离公式是d＝，其中A为直线l上任意一点，a为与直线l垂直的向量．(　　) (4)异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则||的最小值就是l1与l2的距离．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A．　　　　　　　 B．2 C． D． 解析　由题意＝(＋)＝，＝－＝，||＝＝. 答案　D 3．如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，下列结论不正确的是(　　) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．向量与的夹角为60° 解析　以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1).＝(－1，－1,0)，＝(－1,1,1)，＝(0，－1，1)，＝(－1，－1,0)，＝(1,0,1)．对于选项A，由＝知结论正确；对于选项B，由·＝(－1,1,1)·(－1，－1,0)＝0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由·＝(－1,1，1)·(－1,0，－1)＝0知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝ －，知结论不正确． 答案　D 4．已知空间两点A，B的坐标分别为(1，－1,1)，(2,2，－2)，则A，B两点的距离为________． 答案　 题型一　点到直线的距离 　在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [自主解答]　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D ­xyz，如图． 设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)． ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影为＝