1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间向量与平行关系 学业标准 1.掌握空间中点、线、面的向量表示．(重点) 2．掌握平面的法向量的概念，并会用待定系数法求平面的法向量．(重点) 3．熟练掌握用方向向量、法向量证明空间中的平行关系．(重点、难点) [教材梳理] 导学1 空间中点、直线和平面的向量表示 　空间直角坐标系中的点和坐标有什么关系？ [提示]　一一对应． 　直线的方向向量能确定直线吗？ [提示]　不能． ◎结论形成 1．用向量表示点的位置 基点 在空间中，我们取一定点O作为基点 向量 表示 空间中任意一点P的位置可以用向量来表示 点的位 置向量 点P的位置向量为向量 2.用向量表示直线的位置 条 件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的__方向向量__) 形 式 在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t 取定空间中的任意一点O，对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝＋ta＝＋t 作 用 定位置 点A和向量a可以确定直线l的位置 定点 可以具体表示出l上任意一点 3.用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定. 条 件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形 式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得＝xa＋yb 取定空间任意一点O，存在实数x，y，使＝＋x＋y (2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定. 平面 的法 向量 直线l⊥α，直线l的方向向量a，叫做平面α的法向量 确定 平面 位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的，可以表示为集合{P|a·＝0} 导学2 空间中直线、平面的平行 　若两条直线平行，则它们的方向向量有什么关系？ [提示]　平行． 　若一条直线与一个平面平行，则直线的方向向量和平面的法向量什么关系？ [提示]　垂直． 　若直线的方向向量和平面的法向量垂直，这条直线与这个平面一定平行吗？ [提示]　不一定，直线还可能在平面内． 　若两个平面平行，则它们的法向量有什么关系？ [提示]　平行． ◎结论形成 空间中平行关系的向量表示 设直线l，l1，l2的方向向量分别为u，u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R、u1＝λu2 线面平行 l∥α⇔u⊥n1⇔u·n1＝0 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，n1＝λn2 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　) (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行．(　　) (3)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　) (4)如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　) 提示：(1)×.两直线可能重合． (2)×.直线可能在平面内． (3)√.根据平面法向量的定义，可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量，是正确的． (4)×.当a，b共线时，n就不是平面α的一个法向量． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．下列说法中正确的是(　　) A．直线的方向向量是唯一的 B．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 C．直线的方向向量有两个 D．平面的法向量是唯一的 答案　B 3．若两条直线的方向向量分别是a＝(2,4，－5)，b＝(－6，x，y)，且两条直线平行，则x＝________，y＝________. 答案　－12　15 4．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________． 解析　因为u·n＝(－1,2，－3)·(4，－1，－2)＝0，所以u⊥n.所以直线与平面平行，即l∥β. 答案　平行 题型一　线、面位置关系的判定 　根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)． [自主解答]　(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)， ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u， ∴v∥u，即