1.1.2 空间向量的数量积运算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

#1．1.2　空间向量的数量积运算 学业标准 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决夹角与距离问题．(难点) [教材梳理] 导学1 空间向量的夹角 　平面内两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ [提示]　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π. ◎结论形成 1．夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量的夹角，记作〈a，b〉． 2．夹角的范围：[0，π]． 3．两向量垂直：如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 导学2 空间向量的数量积 　平面向量的数量积是如何定义的？ [提示]　已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ◎结论形成 1．空间两个向量的数量积 定 义 已知两个非零向量a，b，则　|a||b|cos〈a，b〉　叫做a，b的数量积，记作　a·b　，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0 运 算 律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝　λ(a·b)　 交换律 a·b＝　b·a　 分配律 a·(b＋c)＝　a·b＋a·c　 2.空间向量数量积的性质 a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. 导学3 投影向量与向量所在直线与平面所成的角 1.投影向量 如图所示，在空间中，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量所在直线与平面所成的角 如图所示，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (2)向量的投影一定是正数．(　　) (3)a·b＝a·c⇒b＝c.(　　) 解析　(1)×.不一定．可能是α，也可能是π－α. (2)×.向量a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉，而cos〈a，b〉∈[－1,1]，所以投影可正可负也可以是零． (3)×.a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直． 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30°　　 B．60°　　 C．150°　　 D．120° 答案　D 3．下列各命题中，不一定正确的命题为(　　) A．＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案　D 4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. 解析　cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π. 答案　π 题型一　空间向量的数量积运算 　(1)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝3，则|3a－2b|＝________. (2)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： ①·；②·； ③·；④·. [自主解答]　(1)因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°， 所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2×3×＝3. 又因为|3a－2b|2＝9a2－12a·b＋4b2 ＝36－12×3＋36＝36，所以|3a－2b|＝6. (2)①·＝· ＝||||cos〈，〉 ＝cos 60°＝. ②·＝·＝||2＝. ③·＝·＝－· ＝－×cos 60°＝－. ④·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 答案　(1)6　(2)略 [规律方法] 求数量积的两种情况和方法 (1)已知向量的模和夹角：利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． [触类旁通] 1．已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求值： (1)·；(2)·. 解析　如图所示，