1.1.1 空间向量及其线性运算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】人教A版

　空间向量及其运算 #1．1.1　空间向量及其线性运算 学业标准 1.理解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握空间向量共线和共面的充要条件及应用．(重点、难点) [教材梳理] 导学1 空间向量的有关概念 　在平面中有哪些特殊的向量？ [提示]零向量、单位向量、相等向量、相反向量等． ◎结论形成 1．空间向量的有关概念 定义 在空间中，把具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量 长度 (模) 向量的__大小__叫做向量的长度或__模__ 表示 法 几何表 示法 空间向量用__有向线段__表示 字母表 示法 用一个字母表示，向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作　　，其模记为|a|或| 2.特殊向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与a长度__相等__而方向__相反__的向量称为a的相反向量 －a 相等向量 方向__相同__且模__相等__的向量 a＝b或＝ 共线向量 (或平行 向量) 表示空间向量a，b的有向线段所在的直线__互相平行或重合__，则向量a，b叫做__共线向量__或__平行向量__ a∥b 导学2 空间向量的线性运算 　进行平面向量的加减法运算需要掌握哪两个法则？ [提示]　平行四边形法则和三角形法则． 　平面向量内使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？ [提示]　利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”， 进行减法运算时，注意“共起点”. 平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算． ◎结论形成 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝　　 减法 a－b＝－＝　　 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝ 当λ＜0时，λa＝λ＝ 当λ＝0时，λa＝0 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a， (2)结合律：(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　， λ(μa)＝　(λμ)a　， (3)分配律：λ(a＋b)＝　λa＋λb　， (λ＋μ)a＝　λa＋μa　 导学3 空间向量共线和共面的充要条件 　平面内两向量共线时，它们的方向有什么关系？ [提示]　方向相同或相反． 　平面内在两向量共线的充要条件中，为什么要求b≠0? [提示]　由于我们已经规定了0与任意向量平行，所以当b＝0时，a与b是共线向量，可如果a≠0，就不可能存在实数λ，使a＝λb成立． ◎结论形成 1．共面向量 平行于同一个平面的向量． 2．空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 3．直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量的长度与向量的长度相等．(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)零向量没有方向．(　　) (4)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　　) A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析　与相等的向量有，，，共3个． 答案　C 3．化简－＋所得的结果是(　　) A． B． C．0 D． 答案　C 4．在平行六面体ABCD ­A′B′C′D′的顶点表示的向量中，模与向量的模相等的向量有________个． 解析　||＝||＝||＝||＝|| ＝||＝||＝||. 答案　7 题型一　空间向量的概念 　下列说法中正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ [自主解答]　|a|＝|b|，说明a与b的模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B. [答案]　B [规律方法] 理解向量的相关概念，关键是掌握几个重要概念：相等向量的模相等，方向相同；零向量的方向任意，模为零；共线向量方向相同或相反；相反向量的模相等，方向相反等． [触类旁通] 1．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个