20第三章 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#3．2　空间向量运算的坐标表示及应用 学业标准 1．理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的长度、夹角的坐标表示，并能熟练应用．(重点、难点) [教材梳理] 导学1　空间向量运算的坐标表示 　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基，任作一向量，根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ [提示]　相同 　空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算有什么不同？ [提示]　空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，算法是相同的，但空间向量比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的． ◎结论形成 1．标准正交基 在空间直角坐标系O­xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个__互相垂直的单位向量__就构成空间向量的一组基　{i，j，k}　，这组基叫作标准正交基． 2．空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在__唯一__的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝　xi＋yj＋zk　. 反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到__唯一__的一个向量p＝　xi＋yj＋zk　与之对应．这样，就在__空间向量__与__三元有序实数组__之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组__(x，y，z)__叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝__(x，y，z)__．单位向量i，j，k都叫作__坐标向量__． 3．空间向量运算的坐标表示 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)__ 减法 a－b a－b＝__(x1－x2，y1－y2，z1－z2)__ 数乘 λa λa＝　(λx1，λy1，λz1)λ∈R　 数量积 a·b a·b＝__x1x2＋y1y2＋z1z2__ 4．空间向量的坐标表示及长度 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ①＝(x2－x1，y2－y1，z2－y1)； ②dAB＝||＝. 导学2　空间向量平行与垂直、长度与夹角的坐标表示 　空间向量的平行、垂直的条件、夹角公式与平面向量的有何不同？ [提示]　无论是平面向量a和b还是空间向量a和b，用a和b表示的平行与垂直条件、夹角公式形式都是一样的．但是用坐标表示时，空间向量多了一个竖坐标． ◎结论形成 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 平行 (a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔　＝＝　 垂直 (a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔__x1x2＋y1y2＋z1z2__＝0. 模 |a|＝＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ ＝(a≠0，b≠0) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若空间向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．(　　) (2)若空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)共线，则＝＝.(　　) (3)空间向量a＝(1,1,1)是一个单位向量．(　　) (4)若a，b为空间向量，则(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．若向量a＝(2,2,3)，b＝(－1,2,1)，c＝(0,1,1)，则a·(b＋c)＝(　　) A．5　　　　　　　　　 B．8 C．10 D．12 解析　b＋c＝(－1,3,2)，所以a·(b＋c)＝－2＋6＋6＝10. 答案　C 3．已知在空间直角坐标系O­xyz中，点A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　) A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24) C．(－6,8,24) D．(－5,6,24) 解析　∵a＝(－3,4,12)，且＝2a，∴＝(－6,8，24)，∵A(1，－2,0)，∴B＝(－6＋1,8－2，24＋0)＝(－5,6,24)，故选D． 答案　D 4．a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m＝____________. 解析　∵a⊥b，∴1·m＋5×2－2(m＋2)＝0. ∴m＝6. 答案　6 题型一　空间向量的坐标运算 　已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)． (1)求＋，－2，·； (2)若点M满足＝＋，求点M的坐标； (3)若p＝，q＝，