19第三章 3.1 空间向量基本定理（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#3．1　空间向量基本定理 学业标准 掌握空间向量基本定理，理解一组基、基向量的概念，会用向量基本定理解决相关问题． [教材梳理] 导学　空间向量基本定理 　在平面向量基本定理中， (1)向量a与b有什么要求吗？ (2)对于这个平面内，任意一个向量c写成a与b的线性表达式唯一吗？ [提示]　(1)向量a与b不共线． (2)唯一． ◎结论形成 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.这时　{a，b，c}　叫作空间向量的一组基，其中　a，b，c　都叫作基向量． 2．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基． [拓展]　当a，b，c不共面时，xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间任意三个不共线的向量均可作为空间向量的一组基．(　　) (2)基向量中可以含有零向量，但至多一个．(　　) (3)如果向量a，b与空间任何向量都不能构成空间向量的一组基，那么向量a，b一定是共线向量．(　　) (4)如果向量组{a，b，c}是空间向量的一组基，且m＝a＋c，那么{a，b，m}也是空间向量的一组基．(　　) 解析　(1)错误，因为空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一组基． (2)错误，基向量中一定不可以含有零向量． (3)正确，向量a，b与空间任何向量都不能构成空间向量的一组基，说明向量a，b 与空间任何向量都是共面向量，从而a，b一定是共线向量． (4)正确，因为若a，b，m共面，则存在唯一实数对(x，y)，使得m＝xa＋yb，即a＋c＝xa＋yb，所以(x－1)a＋yb－c＝0，而a，b，c不共面，所以x－1＝y＝－1＝0，这显然不成立，故a，b，m不共面，即{a，b，m}也是空间向量的一组基． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基的是(　　) A．，，　　　 B．，， C．，， D．，， 解析　∵向量，，不共面，∴可以作为空间向量的一组基，故选C． 答案　C 3．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b－c C．a－b＋c D．a－b＋c 解析　＝－＝－ ＝(＋)－ ＝(＋)－ ＝(＋－)－ ＝－＋ ＝a－b＋c.故选C． 答案　C 4．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为一组基，＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＝______________，y＝________，z＝________. 解析　如图所示，∵＝＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋， 且＝x＋y＋z， ∴x＝y＝z＝1. 答案　1　1　1 题型一　对基向量、一组基的理解 　已知{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间向量的一组基？若能，试以此组基表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由． [自主解答]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y使＝x＋y成立， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. ∵{e1，e2，e3}是空间向量的一组基，∴e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， 即不存在实数x，y使＝x＋y， ∴，，不共面． 故{，，}能作为空间向量的一组基． 设＝p＋q＋z，则有2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3. ∵{e1，e2，e3}为空间向量的一组基． ∴解得 ∴＝17－5－30. [规律方法] (1)对于空间的一组基{a，b，c}，①a，b，c一定不共面；②a，b，c中一定没有零向量． (2)判断a，b，c可否作为空间向量的一组基，即判断a，b，c是否共面，若不共面则可以作为空间向量的一组基，否则不能作为空间向量的一组基，实际判断时，假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理建立λ，μ的方程组，若有解则共面，否则不共面． [触类旁通] 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间向量的一组基．给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间向量的一组基的有________个． 解析　如图，设a＝，b＝，c＝，则x