18第三章 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#2．1　从平面向量到空间向量 2．2　空间向量的运算 学业标准 1．体验由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(难点) 2．体验由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．(重点) 3．掌握空间向量运算(线性运算、数量)的定义和运算律，并能综合应用．(重点) [教材梳理] 导学1　从平面向量到空间向量 　如图平行六面体ABCD­A1B1C1D1： (1)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与相等的向量有哪些？ (2)向量，，是共面向量吗？ [提示]　(1)因为AA1，BB1，CC1，DD1互相平行而且长度相等，因此，＝＝＝. (2)因为经过平移后可以达到的位置，而，，都在平面ADD1A1内． ◎结论形成 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念及表示 (1)与平面向量类似，在空间中，我们把具有__大小__和__方向__的量叫作空间向量．向量的__大小__叫作向量的长度或模． (2)空间向量也有两种表示法：一种用__有向线段__表示，另一种印刷用a，b，c，…表示，书写用，，，…表示． 2．空间向量的模 表示向量a的__有向线段__的长度叫作向量的长度或模，用　|a|　表示． 3．特殊的空间向量 名称 定义及表示 相等向量 方向__相同__且模__相等__的向量，如a＝b 自由向量 数学中所研究的向量与向量__起点__无关 相反向量 方向__相反__且模__相等__的向量，a的相反向量用　－a　表示 零向量 规定模为0的向量记作0，零向量的方向为任意方向 共线(平 行)向量 表示向量的两条有向线段所在的直线__平行__或__重合__，称这两个向量互为共线向量，规定0与任意的向量__平行__ 共面向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量 导学2　空间向量的线性运算 　如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，M为CB′的中点，化简下列向量表达式： (1)＋＋； (2)－＋； (3)＋＋(－)． [提示]　(1)＋＋＝＋＝＋＝； (2)－＋＝＋＋＝＋＝＋＝； (3)因为点M为CB′的中点，则＋＋(－)＝＋(－)＝＋＝. ◎结论形成 1．空间向量的线性运算 加减运算 加法 减法 a＋b＝＋＝　　 a＋(－b)＝a－b＝－＝＋＝＋＝　　 运算律 (1)交换律a＋b＝　b＋a　； (2)结合律(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　 数乘运算 定义 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个__向量__，记作　λa　 λa的长度与方向 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，向量λa与向量a方向__相同__；当λ＜0时，向量λa与向量a方向__相反__；当λ＝0时，λa＝　0　 单位 向量 对于任意一个非零向量a，当λ＝时，λa＝表示与向量a__同方向__的单位向量 运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(其中λ∈R，μ∈R) 2.空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一实数λ，使　a＝λb　. (共线向量基本定理或一维向量基本定理) 如果两个向量a，b__不共线__，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝　xa＋yb　 导学3　空间向量的数量积 　在平面内，两个向量a，b，向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，求(a＋2b)·(a－b)． [提示]　(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝4＋2×3×cos －2×32＝－11. ◎结论形成 1．两个向量的夹角 (1)夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量的夹角，记作　〈a，b〉　. (2)夹角的范围：　[0，π]　. ①两个向量的夹角唯一，且〈a，b〉＝〈b，a〉； ②当〈a，b〉＝0时，向量a与b方向相同； ③当〈a，b〉＝π时，向量a与b方向相反． (3)两个向量垂直：当〈a，b〉＝时，称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.规定：零向量与任意向量垂直． 2．空间两个向量的数量积 定义 已知两个空间向量a，b，则　|a||b|cos〈a，b〉　叫作a，b的数量积，记作　a·b　，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0 性质 (1)cos〈a，b〉＝　(a≠0，b≠0)　； (2)|a|＝　　； (3)a⊥b⇔a·b＝0 运算律 交换律 a·b＝　b·a　 分配律 a·(b＋c)＝　a·b＋a·c　 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝　λ(a·b)　 3.投影