17第三章 1.1 空间直角坐标系 1.2 点在空间直角坐标系中的坐标（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

§1　空间直角坐标系 #1．1　点在空间直角坐标系中的坐标 1．2　空间两点间的距离公式 学业标准 1．能在空间直角坐标系中求出给定点的坐标(重点、难点)． 2．掌握空间两点间的距离公式，并能简单地应用．(重点) [教材梳理] 导学1　空间直角坐标系及点的坐标 　空间直角坐标系建系的位置不同，点的坐标相同吗？ [提示]　建立坐标系是解题的关键，坐标系建立的不同，点的坐标也不同，但点的相对位置是不变的，坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同，因此解题时要慎重建立空间直角坐标系． 　设点M的坐标为(a，b，c)，过点M分别作xOy平面、yOz平面、xOz平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？ [提示]　分别是(a，b,0)，(0，b，c)，(a,0，c)． ◎结论形成 1．空间直角坐标系 过空间任意一点O，作__三条两两垂直__的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：__x__轴、__y__轴和__z__轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.点O叫作坐标原点，x轴(__横轴__)、y轴(__纵轴__)、z轴(__竖轴__)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为__xOy__平面、__yOz__平面、__zOx__平面． 一般是将x轴和y轴放置在__水平面__上，那么z轴就__垂直__于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为__右手系__． 2．点的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用__唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)__来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定__空间中的一个点P__.这样，在空间直角坐标系中，__任意一点P__与__三元有序实数组(x，y，z)__之间，就建立了一一对应的关系：P↔(x，y，z)． __三元有序实数组(x，y，z)__叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)，其中x叫作点P的__横__坐标，y叫作点P的__纵__坐标，z叫作点P的__竖__坐标． 导学2　空间两点间的距离公式 　在空间直角坐标系中，坐标轴上的点A(x，0,0)，B(0，y,0)，C(0,0，z)与坐标原点O的距离分别是什么？ [提示]　|OA|＝|x|，|OB|＝|y|，|OC|＝|z|. 　在空间直角坐标系中，坐标平面上的点A(x，y,0)，B(0，y，z)，C(x,0，z)与坐标原点O的距离分别是什么？ [提示]　|OA|＝，|OB|＝，|OC|＝. ◎结论形成 空间两点间的距离公式 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q 两点间的距离为 |PQ|＝.这就是空间两点间的距离公式． [拓展]　若P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则线段PQ的中点坐标为. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x＝0，竖坐标z＝0.(　　) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z＝0.(　　) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反．(　　) (4)将空间两点间公式中的两点的坐标位置互换，结果保持不变．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．点P(－2,0,3)位于(　　) A．y轴上　　　　　　　 B．z轴上 C．xOz平面内 D．yOz平面内 答案　C 3．在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝，则m＝________. 解析　|AB|＝＝，所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.所以m＝－7或13. 答案　－7或13 4．在空间直角坐标系中，点A(2,3,4)关于点P(－3，－2,1)的对称点为B，则B点的坐标为________，|AB|＝____________. 解析　设B点坐标为(x，y，z)， 由题知P是AB的中点， 所以解得 所以B点的坐标为(－8，－7，－2)． |AB|＝＝2. 答案　(－8，－7，－2)　2 题型一　求空间点的坐标(一题多变) 　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)若N为棱CC1的中点，求点N的坐标． [自主解答]　(1)显然D(0,0,0)，因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)． 同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0