13第二章 3.1 抛物线及其标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

§3　抛物线 #3．1　抛物线及其标准方程 学业标准 1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点) 2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) [教材梳理] 导学1　抛物线的定义 　在平面直角坐标系内，到点(1,0)和直线x＝－1距离相等的点的轨迹方程是什么？ [提示]　设点M(x，y)，由＝|x＋1|得y2＝4x. ◎结论形成 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的__距离相等的点__的集合(或轨迹)叫作抛物线． 这个定点F叫作抛物线的__焦点__，这条定直线l叫作抛物线的__准线__． [拓展]　抛物线的定义可归纳为“一动三定”：一动即为动点M(x，y)；三定：一个定点F；一条定直线l；一个定比(点M到定点F与到定直线l的距离的比为1)． 导学2　抛物线的标准方程 　仿照椭圆、双曲线方程的求法，根据不同的建系要求完成下列各题，其中|KF|＝p. (1)以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图1)，此时可得曲线方程为：________. (2)以F为原点，过F且垂直于定直线L的直线为x轴(如图2)，此时可得方程：________. (3)以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴(如图3)，此时可得方程：________. (4)如果以KF的中点为原点，KF所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，可得方程：________. [提示]　(1)y2＝2px－p2(p＞0) (2)y2＝2px＋p2(p＞0) (3)y2＝2px(p＞0) (4)x2＝2py(p＞0) 　抛物线的开口方向与哪个量有关系？ [提示]　与一次项及其系数的正负有关． ◎结论形成 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p＞0) x＝－ y2＝－2px (p＞0) 　　 　x＝　 x2＝2py (p＞0) 　　 　y＝－　 x2＝－2py (p＞0) 　y＝　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)抛物线实质上就是双曲线的一支．(　　) (3)若抛物线的方程为y2＝－4x，则焦点到准线的距离p＝－2.(　　) (4)抛物线y＝6x2的焦点在x轴的正半轴．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)× 2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2　　　　　　　 B．2 C．3 D．3 解析　易知抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)， 于是有|BF|＝2，故|AF|＝2，注意到抛物线通径2p＝4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AF⊥x轴，分析知|AB|＝＝2. 答案　B 3．抛物线x＝y2的焦点坐标为(　　) A． B．(a,0) C． D．(0，a) 解析　抛物线x＝y2可化为y2＝4ax.它的焦点坐标是(a,0)． 答案　B 4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 解析　设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y. 答案　y2＝－8x或x2＝－y 题型一　求抛物线的标准方程 　(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝y　　　 B．x2＝12y或x2＝－36y C．x2＝－y D．x2＝36y或x2＝－12y (2)求满足下列条件的抛物线的标准方程． ①过点(－3,2)； ②焦点在直线x－2y－4＝0上． [自主解答]　(1)抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝y.当a＞0时，开口向上，准线方程为y＝－， 则点M到准线的距离为3＋＝6，解得a＝. 因此，抛物线方程为y＝x2，即x2＝12y. 当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－， 则点M到准线的距离为＝6， 解得a＝－. 因此，抛物线方程为y＝－x2，即x2＝－36y.故选B． (2)①因为点(－3,2)在第二象限， 所以抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)． 把点(－3,2)的坐标分别代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)， 得4＝－2p×(－3)或9＝2p·2， 即2p＝或2p＝. 所以所求抛物线的标准方程为 y2＝－x或x2＝y. ②令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4. 故抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，＝4， 即2p