12第二章 2.2 双曲线的简单几何性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#2．2　双曲线的简单几何性质 学业标准 1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题．(难点、重点) [教材梳理] 导学　双曲线的简单几何性质 　观察图形思考下面问题． (1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ (2)观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？对称中心是哪个点？ [提示]　(1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. (2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心． 　双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？ [提示]　有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上． ◎结论形成 双曲线的简单几何性质 标准 方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 范围 　|x|≥a，y∈R　 　|y|≥a，x∈R　 顶点 __A1(－a,0)，A2(a,0)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)__ 焦距 |F1F2|＝__2c(a2＋b2＝c2)__ 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 对称性 __关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形__ 渐近线 　±＝0　 　±＝0　 离心率 　e＝＝(e＞1)　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．(　　) (2)若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．(　　) (3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．(　　) (4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　 (4)× 2．若0＜k＜a，则双曲线－＝1与－＝1有(　　) A．相同的实轴　　　　　 B．相同的虚轴 C．相同的焦点 D．相同的渐近线 解析　∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0. ∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2. 答案　C 3．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1 D．－y2＝1 解析　由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A． 答案　A 4．(2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 解析　双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±，故m＝－3. 答案　－3 题型一　由双曲线方程求其几何性质 　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [自主解答]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x.即y＝±x. [规律方法] 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几个性质． [触类旁通] 1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解析　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程(一题多解) 　求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． [自主解答]　(1)设双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1(a＞0，b＞0)． 由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为－＝1或－＝1. (2)解法一　当焦点在x轴上时， 由＝且a＝3，∴b＝. ∴所求双曲线方程为－＝1. 当焦点在y轴上时，由＝且a＝3，∴b＝2. ∴所求双曲线方程为－＝1. ∴标准方程为－＝1或－＝1. 解法二　设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(