11第二章 2.1 双曲线及其标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#2．1　双曲线及其标准方程 学业标准 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) [教材梳理] 导学1　双曲线的定义 　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ [提示]　如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． ◎结论形成 双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之__差的绝对值__等于常数(__大于零且小于|F1F2|__)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线． 这两个定点F1，F2叫作双曲线的__焦点__，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的__焦距__． 导学2　双曲线的标准方程 　双曲线的标准方程是左右两侧各具有怎样的结构特征？ [提示]　双曲线的标准方程左端为两平方项的差，右端为常数1. 　类比椭圆的标准方程，双曲线的标准方程可以根据x2与y2的分母大小来判断双曲线焦点的位置吗？ [提示]　双曲线的焦点位置不是由标准方程中x2与y2的分母大小判断，而是根据x2与y2项的系数的正负区分． ◎结论形成 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 　－＝1　 (a＞0，b＞0) 　－＝1　 (a＞0，b＞0) 焦点 坐标 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ a，b，c的 关系 c2＝__a2＋b2__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线．(　　) (2)对于双曲线标准方程，三个参数a，b，c中，最大的一定是c.(　　) (3)方程－＝1(mn＞0)表示的曲线一定是双曲线．(　　) (4)在双曲线方程－＝1(a＞0，b＞0)中，必有a＞b＞0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　 (4)× 2．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，曲线上的动点P到F1，F2的距离之差为6，则曲线方程为(　　) A．－＝1(x＞0)　　　 B．－＝1 C．－＝1(y＞0) D．－＝1 解析　由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，故选A． 答案　A 3．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且|MF1|＝3|MF2|，则|MF2|＝(　　) A．2　　 B．4　　 C．8　　 D．12 解析　双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知＝8，又|MF1|＝3|MF2|，所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4. 答案　B 4．双曲线－＝1的焦距为(　　) A．3 B．4 C．3 D．4 解析　a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4，故选D． 答案　D 题型一　双曲线定义的应用 　(1)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　) A．27或21　　　　　　　 B．7 C．22或2 D．21 (2)设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 [自主解答]　(1)∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得＝10， 由题意知|PF1|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝±10， ∴|PF2|＝22或2. (2)由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2， ∴|PF1|＝6，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2c＝2，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.∴△PF1F2为直角三角形，∴＝×6×4＝12. [答案]　(1)C　(2)B [规律方法] 双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有： (1)定义：|r1－r2|＝2a； (2)余弦定理：4c2＝r＋r－2r1·r2cos θ； (3)面积公式：＝r1r2sin θ. [触类旁通] 1．已知双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，点A，B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 解析　设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋