10第二章 1.2 椭圆的简单几何性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#1．2　椭圆的简单几何性质 学业标准 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题．(重、难点) [教材梳理] 导学1　椭圆的范围、对称性、顶点 　观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ [提示]　由≤1，≤1得：－a≤x≤a，－b≤y≤b. 　如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？ [提示]　a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|. 导学2　椭圆的离心率 　观察图形，思考以下问题． (1)观察图中不同的椭圆，其扁平程度是不一样的，通过图形说出哪些性质在变化，哪些性质不变？ (2)圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度呢？ [提示]　(1)发现长轴长相等，短轴长不同，扁平程度不同． (2)椭圆的离心率． ◎结论形成 椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 范围 __－a≤x≤a__ 且__－b≤y≤b__ __－b≤x≤b__ 且__－a≤y≤a__ 顶点 __A1(－a,0)，A2(a,0)，__ __B1(0，－b)，B2(0，b)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)，__ __B1(－b,0)，B2(b,0)__ 轴长 短轴长＝__2b__，长轴长＝__2a__ 焦点 F1__(－c,0)__，F2__(c,0)__ F1__(0，－c)__，F2__(0，c)__ 焦距 |F1F2|＝__2c__ 对称性 对称轴__x轴和y轴__，对称中心__(0,0)__ 离心率 e＝　(0＜e＜1)　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率都与焦点所在的坐标轴有关．(　　) (2)椭圆的焦点一定在长轴上．(　　) (3)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而能刻画椭圆的扁平程度．(　　) (4)椭圆＋＝1比椭圆＋＝1更扁一些．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　) A．(－1,0)(1,0)　　　 B．(－6,0)，(6,0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0, ) 解析　椭圆x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0，－)，(0，)． 答案　D 3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 解析　因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B． 答案　B 4．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率e＝(　　) A． B． C． D． 解析　不妨设a＞0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 答案　C 题型一　由椭圆方程研究其几何性质 　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． [自主解答]　椭圆方程可化为＋＝1. ∵m－＝＞0，∴m＞，即a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝得 ＝，∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1. ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1； 两焦点分别为F1，F2； 四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2. [规律方法] 确定椭圆几何性质的步骤如下： (1)化标准，把椭圆方程化成标准形式； (2)定位置，根据标准方程中x2，y2对应分母的大小来确定焦点位置； (3)求参数，写出a，b的值，并求出c的值； (4)写性质，按要求写出椭圆的简单几何性质． [触类旁通] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解析　把已知方程化为标准方程＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 题型二　利用几何性质求椭圆方程 　(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________． (2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为_______