09第二章 1.1 椭圆及其标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

§1　椭　圆 #1．1　椭圆及其标准方程 学业标准 1．掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决有关问题．(重点) 2．掌握椭圆的标准方程，了解其推导过程．会求椭圆的标准方程．(重点、难点) [教材梳理] 导学1　椭圆的定义 　通过探讨以下几个问题，初步形成对椭圆的认识． 将一条细绳的两端用图钉分别固定在平面内的两个定点F1，F2上，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上能得到怎样的图形？ [提示]　得到一个椭圆． 　如果调整细绳两端点F1，F2的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化？ [提示]　当细绳两个端点逐步靠近时，所画的椭圆越接近圆，当细绳两端点逐步远离时，所画的椭圆越扁平． ◎结论形成 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于__常数(大于|F1F2|)__的点的集合(或轨迹)叫作椭圆． 这两个定点__F1，F2__叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离__|F1F2|__叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的对称性 椭圆是轴对称图形，直线__F1F2__及线段F1F2的__垂直平分线__都是它的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段F1F2的__中点__是它的对称中心． 导学2　椭圆的标准方程 　推导椭圆的标准方程是如何建坐标系的？椭圆的标准方程有几种形式？ [提示]　以椭圆的对称中心为坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系，由于焦点在x轴上或y轴上，故标准方程有两种形式． 　推导椭圆的标准方程过程中，对含有的两个根式是怎样处理的？ [提示]　将两个根式分开即移项，先变成＝2a－，再两边平方(可消去很多项，简单了很多)． ◎结论形成 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 　＋＝1(a＞b＞0)　 　＋＝1　__(a＞b＞0)__ 图形 焦点坐标 __(－c,0)，(c,0)__ __(0，－c)，(0，c)__ a，b，c 的关系 __a2＝b2＋c2__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆．(　　) (2)椭圆的焦点只能在坐标轴上．(　　) (3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)不一定表示椭圆．(　　) (4)两种椭圆的标准方程中，有时a＞b＞0，有时b＞a＞0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)× 2．以下方程表示椭圆的是(　　) A．＋＝1　　　　　 B．2x2－3y2＝2 C．－2x2－3y2＝－1 D．＋＝0 解析　A中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程． 答案　C 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(　　) A．＋＝1或＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1或＋＝1 D．＋＝1 解析　若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是＋＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是＋＝1. 答案　A 4．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________． 解析　∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴a2＞a＋6＞0，∴a＞3或－6＜a＜－2. 答案　(－6，－2)∪(3，＋∞) 题型一　对椭圆标准方程的理解 　(1)若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(－9,25)　　　　 B．(－9,8)∪(8,25) C．(8,25) D．(8，＋∞) (2)若方程x2－3my2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________． [自主解答]　(1)依题意有 解得－9＜m＜8或8＜m＜25， 即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)． (2)由题意知m≠0， 将椭圆方程化为＋＝1， 依题意有解得m＜－， 即实数m的取值范围是. [答案]　(1)B　(2) [规律方法] 1．给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0. 2．若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况． [触类旁通] 1．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值为________． 解析　∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4. 当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上，实数m的值为4或. 答案　4或 题型二　求椭圆的标准方程(一题多解) 　(1)求适合下列条件的椭圆的标准方