08第一章 2.4 圆与圆的位置关系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#2．4　圆与圆的位置关系 学业标准 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点) 2．掌握两圆相交或相切时简单的几何性质，并能综合应用．(重点) [教材梳理] 导学　圆与圆的位置关系 　已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－a)2＋y2＝1，(1)两圆半径分别为多少？ [提示]　r1＝2，r2＝1. (2)若a＝4，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与两半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(4,0)，d＝4，d＞r1＋r2，相离． (3)若a＝3，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(3,0)，d＝3，d＝r1＋r2，外切． (4)若a＝2，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(2,0)，d＝2，r1－r2＜d＜r1＋r2，相交． (5)若a＝1，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(1,0)，d＝1，d＝r1－r2，内切． (6)若a＝0，两圆圆心分别为多少？圆心距为多少？与半径有何关系？两圆有何位置关系？ [提示]　圆心C1(0,0)，C2(0,0)，d＝0，d＜r1－r2，内含． ◎结论形成 1．平面内两个不等的圆之间的位置关系有5种：__外离、外切、相交、内切、内含__． 2．当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有3种：__外离、外切和相交__． 3．圆与圆位置关系的判定 圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r(r1＞0)，圆C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r(r2＞0)，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝， 则有， 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图 示 d与 r1， r2的 关系 __d＞r1＋r2__ __d＝r1＋r2__ |r1－r2|＜ d＜__r1＋r2__ __d＝|r1－__ __r2|__ __d＜|r1 －r2|__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(　　) (2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．(　　) (3)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(　　) (4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√ 2．两圆x2＋y2＝r2与(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B．5 C． D．2 解析　∵两圆外切， ∴圆心距d＝＝2r， 解得r＝. 答案　C 3．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 解析　两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4. 所以两圆的圆心距d＝＝5. 又4－3＜5＜3＋4，故两圆相交． 答案　B 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________． 解析　圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10，又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0. 答案　x＋3y＝0 题型一　两圆位置关系的判定 　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)m＝1时，圆C1与圆C2有什么位置关系？ (2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？ [自主解答]　(1)∵m＝1，∴两圆的方程分别可化为：C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9. C2：(x＋1)2＋y2＝1. 两圆的圆心距d＝＝2， 又∵r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2， ∴r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交． (2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含， 则＜3－1， 即(m＋1)2＜0，显然不等式无解． 故不存在m使得圆C1与圆C2内含． [规律方法] 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围，有以下几个步骤： ①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． [触类旁通] 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．