07第一章 2.3 直线与圆的位置关系（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#2．3　直线与圆的位置关系 学业标准 1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重难点) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点) [教材梳理] 导学　直线与圆的位置关系 　怎样用几何法即用圆心到直线的距离d同圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系？ [提示]　利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断它们之间的位置关系如下：若d＞r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d＜r，则直线与圆相交． 　如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ [提示]　把直线的方程与圆的方程组成方程组当方程组无解即Δ＜0时，直线与圆相离；当方程组有一解即Δ＝0时，直线与圆相切；当方程组有两解即Δ＞0时，直线与圆相交． ◎结论形成 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点 __两个__ __一个__ __零个__ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝(A，B不全为0) __d＜r__ __d＝r__ __d＞r__ 代数法：由 __两组__ 不同解 __一组__实数解(两组相等实数解) __没有__实数解 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断．(　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．(　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离．(　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　 (4)√ 2．设直线l过点P(－2,0)，且与圆x2＋y2＝1相切，则l的斜率是(　　) A．±1　　　　　　　 B．± C． D． 解析　设l：y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 又l与圆相切，∴＝1.∴k＝±. 答案　B 3．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．1 B．2 C．4 D．4 解析　圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4. 答案　C 4．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是________． 解析　因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，所以＞，解得m＜－2或m＞2. 答案　m＜－2或m＞2 题型一　直线与圆的位置关系的判断(一题多解) 　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆满足下列关系． (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [自主解答]　解法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2. 圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝. 当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． [规律方法] 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [触类旁通] 1．(2021·新高考全国卷Ⅱ改编)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法不正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析　转化点与圆、点与直线的位置关系为a2＋b2，r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解． 圆心C(0,0)到直线l的距离d＝， 若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2， 所以d＝＝|r|， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2， 所以d＝>|r|， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则