06第一章 2.2 圆的一般方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#2．2　圆的一般方程 学业标准 1．理解圆的一般方程的特点，会根据圆的一般方程求圆心和半径．(重点) 2．会根据给定的条件灵活选取恰当的方法求圆的一般方程．(重点、难点) [教材梳理] 导学　圆的一般方程 　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)展开可得到一个什么式子？ [提示]　x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0. ◎结论形成 1．圆的一般方程 (1)当__D2＋E2－4F＞0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为　　，半径为　 　. (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点　　. (3)当__D2＋E2－4F＜0__时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 2．圆的一般方程的代数特征 对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： (1)x2，y2的系数__相同，且不等于0__，即__A＝B≠0__； (2)不含__xy__这样的二次项，即C＝__0__. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的__必要__条件，但不是__充分__条件． [拓展]　点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．(　　) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．(　　) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．(　　) (4)利用待定系数法求圆的一般方程，需要三个独立的条件．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．1 C．3 D．－3 解析　∵圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，∴3x＋y＋a＝0过点(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1. 答案　B 3．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为(　　) A．(2,0)，5 B．(2,0)， C．(0,2)， D．(2,2)，5 解析　x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径r＝. 答案　B 4．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是________． 解析　r2＝＝， 所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝π. 答案　π 题型一　圆的一般方程的概念(一题多解) 　(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6,3　　　　　　　 B．－4,6,3 C．－4,6，－3 D．4，－6，－3 (2)方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． [自主解答]　(1)圆心为， 所以－＝－2，－＝3，所以D＝4，E＝－6， 又R＝ 代入算得F＝－3. [答案]　D (2)解法一　由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 所以D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F＞0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|. 解法二　原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. [规律方法] 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的 两种判断方法 (1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． [触类旁通] “m＞”是“x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0为圆的方程”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圆需满足(－2m)2－4(－m2－5m＋3