05第一章 2.1 圆的标准方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

§2　圆与圆的方程 #2．1　圆的标准方程 学业标准 1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(难点) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(重点) 3．掌握点与圆的位置关系．(难点) [教材梳理] 导学1　圆的标准方程 　若已知圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上的任意一点，那么点M满足的条件是什么？该圆如何用集合来表示？ [提示]　|MC|＝r，P＝{M||MC|＝r}． ◎结论形成 圆的标准方程 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)①，平面内圆C上的点P的坐标(x，y)满足__方程①__，反之，以满足方程①的(x，y)为坐标的点P一定在__圆C上__．因此，方程①就是以点__C(a，b)__为圆心，__r__为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程． 导学2　点与圆的位置关系 　平面内任意一点M(x，y)到圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心C(a，b)的距离如何求，怎样判断点M与圆C的位置关系？ [提示]　|MC|＝， 当|MC|＞r时，点M在圆C外； 当|MC|＝r时，点M在圆C上； 当|MC|＜r时，点M在圆C内． ◎结论形成 点与圆的位置关系的判定 圆C的圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)，则点M1(x1，y1)在圆C外的充要条件是(x1－a)2＋(y1－b)2＞r2；点M2(x2，y2)在圆C内的充要条件是(x2－a)2＋(y2－b)2＜r2. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.(　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)．(　　) (4)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　 (4)√ 2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A．　　 B．－　　 C．1　　 D．－1 解析　若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0)，所以由2a＋0－1＝0解得a＝. 答案　A 3．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 解析　因为＝＞，故点P(a,10)在圆外． 答案　A 4．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________． 解析　由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝5 题型一　求圆的标准方程(一题多解　一题多变) 　(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－2)2＝1　　 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 (2)已知圆过点A(1，－1)，B(－1,1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． [自主解答]　(1)设圆心(0，m)，依题意＝1，解得m＝2. ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A． [答案]　A (2)解法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二　设点C为圆心， ∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴＝， 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法三　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由 得即圆心为(1,1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. [母题变式] 1．(变条件)本例1(2)中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”若换为“圆心C在y轴上”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解析　设圆心C(0，b)，则|AC|＝|BC|，解得b＝0.故圆的方程为x2＋y2＝2. 2．(变条件、变结论)本例1(2)中条件“圆心C在直线x＋y－2＝0上”去掉，其他条件不变，试求周长最小的圆的方程． 解析　经过A