04第一章 1.6 平面直角坐标系中的距离公式（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#1．6　平面直角坐标系中的距离公式 学业标准 1．理解并掌握两点间的距离公式，会用公式解决有关问题．(重点) 2．探索并掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．(重难点) [教材梳理] 导学1　两点间的距离公式 　在x轴上两点A1(x1,0)，B1(x2,0)间的距离如何计算？ [提示]　|A1B1|＝|x2－x1|. 　在y轴上两点C(0，y1)，D(0，y2)间的距离如何计算？ [提示]　|CD|＝|y2－y1|. ◎结论形成 两点间的距离公式，若坐标平面内的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝　　. 导学2　点到直线的距离公式 　直线外一点和直线上的点的连线中哪条线段最短？ [提示]　垂线段． 　点A(1,2)到直线x＝5和y＝5的距离分别是多少？ [提示]　4和3. ◎结论形成 点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝　　(其中A，B不全为0)． 导学3　两条平行直线间的距离公式 　直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1，2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ [提示]　点A，B，C到直线l2的距离分别为，，.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． ◎结论形成 两条平行线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d，则d＝　(A，B不全为0，C1≠C2)　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当A＝0或B＝0或点P在直线l上时，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式仍然适用．(　　) (2)当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．(　　) (3)在用两平行线间的距离公式时，两方程中x，y的系数对应成比例即可．(　　) (4)点P(x0，y0)到x轴的距离是d＝y0.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　 (4)× 2．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)三点，则＝(　　) A．　　　　　　　 B． C．3 D．2 解析　由两点间的距离公式，得 |AC|＝＝4， |CB|＝＝2， 故＝＝2. 答案　D 3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m＝(　　) A． B．－ C．－ D．或－ 解析　由点到直线的距离公式得＝1，解得m＝或－. 答案　D 4．直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于________． 解析　直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－＝0. 故两直线平行，且两直线间的距离为： d＝＝＝. 答案　 题型一　两点间距离公式的应用(一题多解　一题多变) 　已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． [自主解答]　解法一 ∵|AB|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝＝， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC是等腰直角三角形． 解法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，∴kAC·kAB＝－1.∴AC⊥AB． 又|AC|＝＝， |AB|＝＝， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形． [母题变式] (变结论)本例1条件不变，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程． 解析　易知M(2,2)，则|AM|＝＝.直线AM的方程为＝，即x－5y＋8＝0. [规律方法] 两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一，它主要解决线段的长度问题，体现了数形结合思想的应用． 题型二　点到直线、平行线间距离公式的应用(一题多解) 　(1)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． (2)求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程． [自主解答]　(1)由直线平行的充要条件可得＝，∴a＝6，所以两条平行直线6x＋8y－24＝0与6x＋8y＋11＝0间的距离为d＝＝＝.故选C． (2)解法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)， 即4x＋y－6＝0.此直线符合题意． 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝， 即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意． 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 解法二　显然所求直线的斜率存在． 设直线方程为y＝kx＋b， 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为： y＝－4x＋6或y＝－x＋， 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－