03第一章 1.4 两条直线的平行与垂直 1.5 两条直线的交点坐标（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#1．4　两条直线的平行与垂直 1．5　两条直线的交点坐标 学业标准 1．理解两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线平行与垂直的判定方法．(重难点) 2．会判断两条直线是否相交，并能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． [教材梳理] 导学1　两条直线平行 　直线l1：3x＋2y－6＝0与直线l2：3x＋2y＋6＝0的位置关系是怎样的？ [提示]　由得方程组无解． 所以直线l1与直线l2平行． ◎结论形成 两条平行直线与斜率之间的关系 1．对于两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔__k1＝k2且b1≠b2__. 2．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相__平行或重合__． 导学2　两条直线垂直 　如果两条直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？为什么？ [提示]　一定有l1⊥l2.不妨设k2＜0，即α2为钝角，因为k1·k2＝－1， 则有tan α2tan α1＝－1， 所以tan α2＝－. 又α1∈[0°，180°)，α2∈[0°，180°)，所以tan α2＝tan(90°＋α1)，则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2. 　对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？ [提示]　不一定，因为如果直线l1和l2分别平行于x，y轴，则k2不存在，所以k1·k2＝－1不成立． ◎结论形成 两条直线垂直与斜率之间的关系 1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2．当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴__平行或重合__，即另一条直线的斜率为__0__. [拓展]　设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 导学3　两条直线的交点坐标 　直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的解有什么样的关系？ [提示]　直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之，直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标． 　已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？ [提示]　只需写出这两条直线的方程，然后联立求解． ◎结论形成 两条直线相交的判断及交点坐标的求法 对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的__斜率(斜率存在时)或法向量__先定性判断两条直线是否相交，若相交，则两条直线l1，l2交点的__坐标__就是两个方程的__公共解__．因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点__坐标__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等．(　　) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行．(　　) (3)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1.(　　) (4)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　 (4)√ 2．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　由得 答案　B 3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0 解析　首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0. 答案　A 4．若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则实数a＝________. 解析　由于l1∥l2，所以1×(－a)－(－2)×2＝0且－2×(－a)－(－a)×(－1)≠0，解得a＝4. 答案　4 题型一　两条直线平行与垂直的判定及应用(一题多解) 　当a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0满足下列关系． (1)平行；(2)垂直． [自主解答]　解法一　当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直； 当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2； 直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－. (1)当两直线平行时， 由k1＝k2，b1≠b2，即＝，a≠－， 解得a＝－1或a＝2. 所以当a＝－1或2时，两直线平行． (2)当两直线垂直时， 由k1·k2＝－1，即·＝－1， 解得a＝.所以当a＝时，两直线垂直． 解法二　直线(a－1)x－2y＋4＝0的一