02第一章 1.3 直线的方程（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

#1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式和直线方程的两点式 学业标准 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会利用它们求直线的方程．(重点) 2．掌握直线方程的两点式和截距式，会选择适当的形式求直线方程．(重难点) [教材梳理] 导学1　直线方程的点斜式和斜截式 　直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系等式？该关系等式是直线l的方程吗？ [提示]　由斜率公式得k＝(x≠x0)，该等式不是直线l的方程．由k＝得y－y0＝k(x－x0)，由直线方程的定义得该等式是直线l的方程． 　直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？ [提示]　不是直线与y轴交点到原点的距离，是直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标，截距b的取值范围是R. ◎结论形成 1．直线的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的__坐标__都是一个方程的解，并且以这个方程的解为__坐标的点都在直线l上__，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式和斜截式 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 点斜 式 点P(x0，y0)和斜率k __y－y0＝k(x－x0)__ 斜率存在 的直线 斜截 式 斜率k和在y轴上的截距b __y＝kx＋b__ 斜率存在 的直线 特殊地：直线l经过P(x0，y0)．(1)当k＝0时，l的方程为__y＝y0__.(2)当k不存在时，l的方程为__x＝x0__. 导学2　直线方程的两点式和截距式 　已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程？ [提示]　因为x1≠x2，所以直线的斜率k＝，由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1)．因为y1≠y2，所以方程两边同除以y2－y1，得＝. 　已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，如何求直线l的方程？ [提示]　将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1. ◎结论形成 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 两点 式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2) 其中x1≠x2 且y1≠y2 ＝ 其 中x1≠x2， y1≠y2 斜率存在 __且不为0__ 截距 式 在x，y轴上的截距分别为a，b且ab≠0 　＋＝1　 __与两坐标轴不平行且不过原点__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程．(　　) (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b即为一次函数的解析式．(　　) (3)直线方程的两点式也可以用＝(x1≠x2且y1≠y2)来表示．(　　) (4)任何直线都可以用方程＋＝1表示．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)× 2．直线y＝k(x＋1)(k＞0)的图象可能是(　　) 解析　直线恒过定点(－1,0)，且斜率k＞0，故选B． 答案　B 3．直线l过点P(－1,2)，且倾斜角是直线x＝1的倾斜角的一半，则其斜截式方程是________． 解析　由x＝1的倾斜角为90°，得l的斜率k＝tan 45°＝1.故其方程为y－2＝x＋1，即y＝x＋3. 答案　y＝x＋3 4．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________． 解析　设直线方程为＋＝1，则 解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0. 答案　3x＋2y－6＝0 题型一　利用点斜式求直线的方程 　(1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为____________． (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为____________． (3)直线l1过点A(2，－3)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，求这条直线l1的点斜式方程． [自主解答]　(1)因为直线平行于y轴，所以直线斜率不存在，所以方程为x＝－5. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程式，直线l的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由点斜式方程可知直线l2的斜率为，所以其倾斜角为30°，所以直线l1的倾斜角为60°，其斜率k＝tan 60°＝，由直线方程的点斜式可得，直线l1的方程为y＋3＝(x－2)． [答案]　(1)x＝－5　(2)y－4＝－(x－3) (3)y＋3＝(x－2) [规律方法] 已知直线上一