专题07 函数中的构造法-2023年高考数学微专题复习（新高考地区专用）

专题07 函数中的构造法 一、真题剖析 【2022年新高考1卷】设，则（       ） A． B． C． D． 【试题情景】本题属于探索性创新情境，本题是以对数值、指数为载体，考查比较大小的问题。 【必备知识】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，本题考查考生对函数图像与性质的数形结合思想的理解与应用。 【答案】C 【解析】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 二、题型选讲 题型一 构造函数的比较大小 例1、【2021年乙卷理科】设，，．则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, 所以; 下面比较与的大小关系. 记,则,， 由于 所以当0<x<2时，,即,, 所以在上单调递增， 所以,即,即; 令,则,, 由于，在x>0时,, 所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c; 综上，, 故选：B. 变式1、（2022·江苏海安·高三期末）已知，，，且则（ ） A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数判断单调性，然后， 作差比较可得答案. 【详解】 由已知得，，， 令，， 可得在上单调递增，在上单调递减， ， 且，所以， ， 且，所以， 所以. 故选：A. 变式2、（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数和指数的单调性可判断，；在构造函数，，再根据换元法和不等式放缩，可证明当时，，由此即可判断的大小. 【详解】 因为 ，所以； 由且，所以，所以， 令，， 令 ，则， 则，等价于，； 又， 所以当时，， 故，所以． 故选：C． 变式3、(2022·江苏南通市区期中)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且，则 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 【答案】C 【解析】构造函数f，所以，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x＜0时，＜0，当x＞0时，＞0，所以f在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，因为，所以ea－a＝e－(－)，eb－b＝e－(－)，ec－c＝e－(－)，所以，f(b)＝f(－)，，因为，所以，所以f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＞b＞c，故答案选C． 变式4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则 A．ln(y−x+1)>0 B．ln(y−x+1)<0 C．ln|x−y|>0 D．ln|x−y|<0 【答案】A 【解析】由得：， 令， 为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ， ，，，则A正确，B错误； 与的大小不确定，故CD无法确定. 故选：A． 题型二 构造函数的研究不等式问题 例2、（2022·广东佛山·高三期末）设函数的导函数是，且恒成立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，利用导函数研究其单调性，求出结果. 【详解】 设，则恒成立，所以单调递增，故，即，解得：，即. 故选：D 变式1、（2022·湖南常德·高三期末）若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．（0，2） D． 【答案】D 【解析】 【分析】 令，则由已知可得在上单调递增，而，从而将原不等式转化为，得，再利用为奇函数讨论的情况，进而可求得解集 【详解】 令，则， 因为，当时，， 所以当时，， 所以在上单调递增， 因为为定义在R上的奇函数， 所以，所以， 所以不等式转化为， 因为在上单调递增，所以， 所以当时，， 因为为定义在R上的奇函数， 所以当时，不满足， 综上，不等式的解集为 故选：D 变式2、（2022·山东德州·高三期末）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由找到原函数，得在上单调递增，再由，，得到，进而得到，在对不等式进行化简得，即，再根据的单调性即可得到答案. 【详解】 令，在上单调递增，，，，不等式，即，由函数在上单调递增得，故不等式的解集为. 故选：C. 变式3、（2021·浙江绍兴市·高三二模）已知函数及其导数满足，，对满足的任意