3.2.2 双曲线的几何性质（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修1【精讲精练】苏教版

#3．2.2　双曲线的几何性质 学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) [教材梳理] 导学 双曲线的几何性质 已知双曲线C1的方程：－＝1. 　双曲线C1中的三个参数a，b，c的值分别为多少？ [提示]　3,4,5. 　试画出双曲线C1的草图？ [提示]　如图所示： 　观察双曲线C1的图象，曲线与x轴、y轴哪一条轴有交点？有无对称性？ [提示]　与x轴有交点，有对称性． ◎结论形成 1. 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝>1 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 (1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线． (2)性质：在双曲线方程－＝1中，如果a＝b，那么方程可化为x2－y2＝a2，此时双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线相互垂直． 3．直线与双曲线的位置关系 将y＝kx＋m与－＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0. Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±时 相交 只有一个交点 k≠±且Δ＞0 有两个交点 k≠±且Δ＝0 相切 只有一个交点 k≠±且Δ＜0 相离 没有公共点 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(　　) (4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．双曲线－＝1的顶点坐标是(　　) A．(±5,0)　　　　　 B．(±5,0)或(0，±3) C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3) 答案　A 3．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　) A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　双曲线标准方程为x2－＝1 ∴a＝1，b＝，渐近线方程为y＝±x. 答案　C 题型一　双曲线的几何性质　一题多变 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解析　双曲线的方程化为标准形式是－＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x. [母题变式] 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解析　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. [规律方法]　已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． [触类旁通] 求双曲线9x2－16y2＋144＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图． 解析　把方程9x2－16y2＋144＝0化为标准方程为－＝1. 由此可知，实半轴长a＝3； 虚半轴长b＝4； c＝＝＝5， 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)； 离心率e＝＝； 渐近线方程为y＝±x＝±x. 双曲线的草图如图． 题型二　由双曲线的几何性质求其方程 　求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x. 解析　 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)． 由题意知2b＝12，＝，且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. (2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝. 当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. [规律方法]　(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键