第3篇 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 考纲展示 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α. 2.借助单位圆的对称性,能利用三角函数线推导出诱导公式(±α,π±α的正弦、余弦、正切). 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin2α+cos2α=1. (2)商数关系 =tan α. 2.诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 诱导公式可简记为奇变偶不变,符号看象限.“奇”与“偶”指的是诱导公式k·+α中的整数k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k·+α中,将α看成锐角时k·+α所在的象限. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　　) (2)若α∈R,则tan α=恒成立.(　　) (3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.sin 2 025°的值为(　A　) A.- B.- C. D. 解析:sin 2 025°=sin(5×360°+225°)=sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°=-.故选A. 3.已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为(　B　) A.- B. C.- D. 解析:因为<α<,所以cos α<0,sin α<0, 且cos α>sin α,所以cos α-sin α>0. 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,所以cos α-sin α=.故选B. 4.已知tan α=2,则的值为　　　　.  解析:原式===3. 答案:3 5.化简·sin(α-π)·cos (2π-α)的结果为　　　　.  解析:原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α. 答案:-sin2α 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考点一　同角三角函数基本关系式的应用 角度一　公式的直接应用 [例1] (1)已知cos α=k,k∈R,α∈(,π),则sin(π+α)等于(　　) A.- B. C.± D.-k (2)已知α是第二象限角,且tan α=-,则sin α+cos α的值为　　　　.  解析:(1)法一　(直接法)由cos α=k,α∈(,π)得sin α=,所以sin(π+α)=-sin α=-.故选A. 法二　(排除法)易知k<0,从而sin(π+α)=-sin α<0,排除选项B,C,D.故选A. (2)由tan α=-,得sin α=-cos α,将其代入sin2α+cos2α=1,得cos2α=1, 所以cos2α=,由α为第二象限角,易知cos α<0,所以cos α=-,sin α=, 故sin α+cos α=-. 答案:(1)A　(2)- 角度二　sin α,cos α的齐次式问题 [例2] 已知=-1,求下列各式的值: (1); (2)sin2α+sin αcos α+2. 解:由已知得tan α=. (1)==-. (2)sin2α+sin αcos α+2=+2=+2=. 角度三　“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系 [例3] 已知x∈(-π,0),sin x+cos x=. (1)求sin x-cos x的值; (2)求的值. 解:(1)由sin x+cos x=, 平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=, 整理得2sin xcos x=-. 所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=. 由x∈(-π,0),知sin x<0,又sin x+cos x>0, 所以cos x>0,则sin x-cos x<0, 故sin x-cos x=-. (2)== = =-. (1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tan α可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin