第2篇 第14节 导数与函数零点 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第14节　导数与函数零点 专题概述 利用导数研究函数的零点,一般出现在解答题的一问,占6分左右,难度较大,一般是把两个函数图像的交点问题转化为一个新的函数的零点问题,或把一个函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题,主要体现了转化与化归思想、数形结合思想. 考点一　判断或证明函数零点个数 [例1] 已知函数f(x)=-x2+2ax+1(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)的极大值和极小值; (2)当a≤6时,判断f(x)在区间(0,+∞)上零点的个数,并说明理由. 解:(1)当a=1时,f(x)=-x2+2x+1,则 f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2). 由f′(x)<0,得1<x<2; 由f′(x)>0,得x<1或x>2. 所以f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上单调递增, 在(1,2)上单调递减. 所以x=1是f(x)的极大值点,x=2是f(x)的极小值点,所以f(x)的极大值为f(1)=,f(x)的极小值为f(2)=. (2)f′(x)=x2-(a+2)x+2a=(x-a)(x-2)(x>0), ①当a≤0时,x-a>0,于是,当0<x<2时, f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0, 所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以x=2是f(x)的极小值点, 且f(2)=2a-<0. 又f(0)=1>0,f(4)=>0,所以f(x)在(0,2)和(2,4)上各有一个零点,即当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上有两个零点. ②当0<a<2时,列表如下: x (0,a) a (a,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 考虑到f(a)=-·a2+2a2+1=a2(6-a)+1>0,f(0)=1>0, 当f(2)=2a-<0,即0<a<时,因为f(4)=>0,所以f(x)在(0,+∞)上有两个零点; 当f(2)=2a-=0,即a=时,f(x)在(0,+∞)上有一个零点; 当f(2)=2a->0,即<a<2时,f(x)在(0,+∞)上没有零点. ③当a=2时,f′(x)=(x-2)2≥0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以当x>0时,f(x)>f(0)=1>0,故f(x)在(0,+∞)上没有零点. ④当2<a≤6时,列表如下: x (0,2) 2 (2,a) a (a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 考虑到f(0)=1>0,f(x)的极大值f(2)=2a->0,f(x)的极小值f(a)=a2(6-a)+1>0, 所以f(x)在(0,+∞)上没有零点. 综上,当a<时,f(x)在(0,+∞)上有两个零点; 当a=时,f(x)在(0,+∞)上有一个零点; 当<a≤6时,f(x)在(0,+∞)上没有零点. 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点函数值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的草图,结合图形,利用零点存在性定理求解函数零点的个数. (2)分离参变量,即由f(x)=0分离参变量,得a=(x),研究y=a与y=(x)图像的交点问题. [对点训练1] (2021·河南质检)已知函数f(x)=sin 2x-|ln(1+x)|,g(x)=sin 2x-x. (1)求证:g(x)在区间(0,]上无零点; (2)求证:f(x)有且仅有两个零点. 证明:(1)g(x)=sin 2x-x,g′(x)=2cos 2x-1. 当x∈(0,)时,g′(x)>0; 当x∈(,)时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递增,在(,]上单调递减. 而g(0)=0,g()=1->0, 所以当x∈(0,]时,g(x)>0, 所以g(x)在区间(0,]上无零点. (2)f(x)的定义域为(-1,+∞). ①当x∈(-1,0)时,sin 2x<0,ln(1+x)<0, 所以f(x)=sin 2x+ln(1+x)<0, 从而f(x)在(-1,0)上无零点. ②当x=0时,f(x)=0,从而x=0是f(x)的一个零点. ③当x∈(0,]时,由(1)知g(x)>0, 所以sin 2x>x,又x≥ln(1+x)>0, 所以f(x)=sin 2x-ln(1+x)>0,从而f(x)在(0,]上无零点. ④当x∈(,]时,f(x)=sin 2x-ln(1+x), f′(x)=2cos 2x-<0,所以f(x)在(,]上单调递减.而f()>0,f(