第2篇 第13节 导数与不等式 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第13节　导数与不等式 专题概述 利用导数证明不等式或利用不等式恒(能)成立求参数问题是高考命题的热点,往往以解答题一问的形式呈现,占6～8分.一般是构造函数或分离参数,把不等式问题转化为函数的最值问题求解.在构造函数时,通过对所要证明的不等式作差来构造函数,或根据题设条件的结构特征构造函数,涉及的主要数学思想是转化与化归思想、分类讨论思想与方程思想. 考点一　构造函数证明不等式 [例1] 已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)若x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间; (2)证明:当a≥时,f(x)≥0. (1)解:f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=aex-. 由题设知,f′(2)=0,所以a=. 从而f(x)=ex-ln x-1,f′(x)=ex-. 当0<x<2时,f′(x)<0; 当x>2时,f′(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞),单调递减区间为(0,2). (2)证明:当a≥时,f(x)≥-ln x-1. 设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-. 当0<x<1时,g′(x)<0; 当x>1时,g′(x)>0. 所以x=1是g(x)的极小值点也是最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0. 因此,当a≥时,f(x)≥0. (1)证明不等式f(x)>g(x). 若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性或最值,证明h(x)>0. (2)证明不等式时,将式子适当放缩,可减少运算量.常见的放缩结论有:ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号;ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号;ln x<x<ex(x>0);sin x≤x(x≥0),当且仅当x=0时取等号;≤,当且仅当x=1时取等号;≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时取等号. [对点训练1] 已知函数f(x)=1-,g(x)=+-bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直. (1)求a,b的值; (2)证明:当x≥1时,f(x)+g(x)≥. (1)解:因为f(x)=1-, 所以f′(x)=,f′(1)=-1. 因为g(x)=+-bx, 所以g′(x)=---b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直, 所以g(1)=1,且f′(1)·g′(1)=-1, 从而g(1)=a+1-b=1, 且g′(1)=-a-b-1=1,解得a=b=-1. (2)证明:g(x)=-++x, 则f(x)+g(x)≥⇔1---+x≥0. 令h(x)=1---+x(x≥1), 则h(1)=0, h′(x)=-+++1=++1. 因为x≥1,所以h′(x)=++1>0, 所以h(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以h(x)≥h(1)=0,即1---+x≥0. 故当x≥1时,f(x)+g(x)≥成立. 考点二　拆分法构造函数证明不等式 [例2] 已知函数f(x)=ex2-xln x. 证明:当x>0时,f(x)<xex+. 证明:要证f(x)<xex+, 只需证ex-ln x<ex+, 即ex-ex<ln x+. 令h(x)=ln x+(x>0), 则h′(x)=, 易知h(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,则h(x)min=h()=0, 所以ln x+≥0. 再令(x)=ex-ex, 则′(x)=e-ex, 易知(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 则(x)max=(1)=0, 所以ex-ex≤0. 因为h(x)与(x)不同时为0, 所以ex-ex<ln x+,故原不等式成立. 证明不等式f(x)>g(x),若f(x)和g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max. [对点训练2] 已知函数f(x)=xex,g(x)=(e-1)x2+xln x+x,证明:f(x)≥g(x). 证明:要证xex≥(e-1)x2+xln x+x, 即证≥+e-1. 令h(x)=(x>0),则h′(x)=(x>0). 当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增. 所以h(x)≥h(1)=e. 令(x)=+e-1,′(x)=. 当x∈(0,1)时,′(x)>0,(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,′(x)<0,(x)单调递减. 所以(x)≤(1)=e. 故h(x)≥(x),即f(x)≥g(x). 考点三　不等式恒成立或有解问题 角度一　等价转化法解决不等式恒成立或有解问题 [例3] 已知函数f(x)=ax-ex(a∈R,e为自然对数的底数).