第2篇 第12节 导数与函数的极值、最值 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第12节　导数与函数的极值、最值 考纲展示 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 2.会利用导数解决实际问题. 1.函数的极值 (1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. 2.函数极值的判断方法 (1)如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,则x0是极大值点,f(x0)是极大值. (2)如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,则x0是极小值点,f(x0)是极小值. 3.函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4.生活中的优化问题 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值,解题过程中要时刻注意实际问题的意义. (1)若函数f(x)的图像连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值. (2)若函数f(x)在[a,b]上是单调的,则f(x)一定在区间端点处取得最值. (3)若连续函数f(x)在(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. (4)若函数f(x)有多个极值点,则极大值点和极小值点是交替出现的. (5)极值点是函数单调递增区间与单调递减区间的分界点. (6)三次函数有两个极值点的充要条件是其导函数有两个零点. (7)奇(偶)函数在x=x0处取得极大值或最大值f(x0),则在x=-x0处取得极小(大)值或最小(大)值-f(x0)(f(x0)). (8)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　) (2)函数的极大值不一定比极小值大.(　　) (3)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.(　　) (5)函数在相邻两个极值点之间是单调的.(　　) 解析:(1)函数在某区间上或定义域内极大值个数不确定,(1)错; (3)x0点为f(x)极值点的充要条件是f′(x)=0,且x0两侧导函数值异号.f′(x0)=0是x0点为极值点的必要不充分条件,(3)错. 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2.函数f(x)=的最大值为(　A　) A.e-1 B.e C.e2 D.10 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=, 由f′(x)>0得函数f(x)的单调递增区间为(0,e), 由f′(x)<0得函数f(x)的单调递减区间为(e,+∞), 所以当x=e时,函数f(x)有最大值f(e)===e-1.故选A. 3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围为(　D　) A.(-1,2) B.(-3,6) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-3)∪(6,+∞) 解析:f′(x)=3x2+2ax+a+6, 由题意得f′(x)=0有两个不相等实根. 所以Δ=4a2-12(a+6)>0,即a2-3a-18>0, 解得a<-3或a>6.故选D. 4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为(　A　) A. cm B.100 cm C.20 cm D. cm 解析:设高为h cm,体积为V cm3,底面半径为r cm, 则r2=202-h2=400-h2, 所以V=πr2h=(400h-h3), 则V′=(400-3h2). 令V′=0,得h=或h=-(舍去). 可知,当h=时,V最大.故选A. 5.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3处取得极值,则a的值为　　　　,f(x)的极