第2篇 第11节 导数与函数的单调性 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第11节　导数与函数的单调性 考纲展示 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 　函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若恒有f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数. 函数f(x)在(a,b)内可导,且f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a,b)时, f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a,b)上单调递增; f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a,b)上单调递减. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.(　　) 解析:(1)f(x)在(a,b)内单调递增, 则有f′(x)≥0. (3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件. 答案:(1)×　(2)√　(3)× 2.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(　A　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,1) 解析:因为f′(x)=2x-=(x>0). 所以当x∈(0,1)时f′(x)<0,f(x)为减函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.故选A. 3.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　B　) A.f(x)=sin x B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=ln x-x 解析:对于选项A,f′(x)=cos x,当x∈(0,+∞)时,f′(x)≥0不恒成立,所以A错; 对于选项B,f′(x)=(x+1)ex,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以B正确; 对于选项C,f′(x)=3x2-1,当x∈(0,)时, f′(x)<0,所以C错; 对于选项D,f′(x)=-1=,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以D错.故选B. 4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图像如图所示,则函数f(x)的图像可能是(　D　) 解析:由f′(x)的图像可知,当x<0或x>x1时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(x1,+∞)上单调递减; 当0<x<x1时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,x1)上单调递增,结合选项知选项D符合题意.故选D. 5.若函数f(x)=ln x-ax在区间(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  解析:因为f(x)=ln x-ax在(1,+∞)上单调递增, 所以f′(x)=-a≥0在(1,+∞)上恒成立. 所以a≤,所以a≤0. 答案:(-∞,0] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考点一　利用导数研究函数的单调性 [例1] (1)函数y=xln x的单调递减区间是(　　) A.(-∞,e-1) B.(e-1,+∞) C.(e,+∞) D.(0,e-1) (2)(2021·全国乙卷)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1. ①讨论f(x)的单调性; ②求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标. (1)解析:f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=ln x+1,令f′(x)=0,即ln x+1=0,得x=e-1, 当x∈(0,e-1)时,f′(x)<0,当x∈(e-1,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)的单调递减区间是(0,e-1),单调递增区间是(e-1,+∞).故选D. (2)解:①由题意知f(x)的定义域为R, f′(x)=3x2-2x+a, 令f′(x)=0,则Δ=(-2)2-4×3a=4(1-3a). (ⅰ)当a≥时,f′(x)≥0,f(x)在R上单调递增; (ⅱ)当a<时,由3x2-2x+a=0, 解得x1=,x2=, 令f′(x)>0,则x<x1或x>x2; 令f′(x)<0,则x1<x<x2. 所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. 综上,当a≥时,f(x)在R上单调递增; 当a<时,f(x)在(-∞,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. ②记曲线y=f(x)过坐标原点的切线为l, 切点为P(x0,-+ax0+1), 因为f′(x0)=3-2x0+a, 所以切线l的方程为y-(-+ax0+1)= (3-2x0+a)(x-x0). 由l过坐标原点,得2--1=0,解得x0=1, 所以切线l的方程为y=(1