第2篇 第10节 导数的概念及运算 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第10节　导数的概念及运算 考纲展示 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图像直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0),即f′(x0)=. (2)函数f(x)的导函数 函数f′(x)=为f(x)的导函数. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,过点P的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=C(C为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈R) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ln x f′(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)= 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=(g(x)≠0). (1)f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,且(f(x0))′=0. (2)[]′=-. (3)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(　　) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).(　　) (3)曲线一定在切线的同侧.(　　) (4)曲线与切线只有一个公共点.(　　) (5)若f(x)=e2x,则f′(x)=e2x.(　　) 解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的导数值,(f(x0))′表示函数值f(x0)的导数,(1)错. (2)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(2)错. (3)曲线未必在其切线的同侧.例如直线y=0(即x轴)是曲线y=x3在点(0,0)处的切线,(3)错. (4)曲线与切线除切点外,可能还有其他公共点.例如曲线y=x3在点(1,1)处的切线y=3x-2与曲线y=x3还有一个公共点(-2,-8),(4)错. (5)f(x)=(e2)x,所以f′(x)=(e2)x·ln e2=2e2x,(5)错. 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.一木块沿某一斜面自由滑下,测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s=t2,则t=2时,此木块在水平方向的瞬时速度为(　A　) A.2 B.1 C. D. 解析:s′=t,s′(2)=2.故选A. 3.(2021·山西检测)函数f(x)=x2+ln x-2的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　A　) A.y=3x-4 B.y=2x-3 C.y=-2x+1 D.y=-3x+2 解析:f′(x)=2x+,所以切线斜率k=f′(1)=3,又f(1)=-1,所以切点坐标为(1,-1),切线方程为y+1=3(x-1),即y=3x-4.故选A. 4.若函数f(x)满足f(x)=x3-f′(1)·x2-x,则f′(2)的值为(　A　) A.3 B.1 C.0 D.-1 解析:f′(x)=x2-2f′(1)·x-1, 所以f′(1)=-2f′(1),所以f′(1)=0, 所以f′(x)=x2-1,所以f′(2)=3.故选A. 5.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=　　　　　　.  解析:由于f′(x)=, 故f′(1)==,解得a=1. 答案:1 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考点一　导数的运算 1.下列求导运算正确的是(　　) A.(x+)′=1+ B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2xsin x 解析:(x+)′=1-,A错; (3x)′=3xln 3,C错; (x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,D错