第2篇 第5节 指数与指数函数 -2023高考文科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第5节　指数与指数函数 考纲展示 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图像. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 1.分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂的表示:=(a>0,m,n∈N+,且n>1). (2)正数的负分数指数幂的表示:=(a>0,m,n∈N+,且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 2.实数指数幂的性质 (1)am·an=am+n. (2)(am)n=am n. (3)(ab)n=anbn. (a>0,b>0) 3.指数函数 (1)指数函数的概念 ①解析式:y=ax(a>0,且a≠1). ②自变量:x; ③定义域:R. (2)指数函数的图像和性质 解析式 y=ax(a>0,且a≠1) 参数分类 0<a<1 a>1 图像 图像特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图像逐渐下降呈“捺”状 当x逐渐增大时,图像逐渐上升呈“撇”状 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 递减 递增 函数 值变 化规律 当x=0时,y=1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 当x<0时,0<y<1; 当x>0时,y>1 (1)在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像越高,底数越大. (2)指数函数的单调性仅与底数a的取值有关. (3)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,). 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)=-4.(　　) (2)(-1=(-1=.(　　) (3)函数y=2x-1是指数函数.(　　) (4)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(　　) (5)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) 解析:(1)由于==4,故(1)错. (2)(-1==1,故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,故(3)错. (4)由于x2+1≥1,又a>1,所以≥a. 故y=(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错. (5)若0<a<1,则m>n,(5)错. 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2.+()-2的值为(　C　) A.7 B.11 C.31 D.32 解析:+()-2=(32+(2-1)-2=33+22=31.故选C. 3.设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则下列大小关系排列正确的是(　D　) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 解析:y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44, y3=()-1.5=21.5. 因为函数y=2x在R上是增函数, 且1.8>1.5>1.44,所以y1>y3>y2.故选D. 4.若函数f(x)=()x-m的图像经过第一、二、四象限,则f(m)的取值范围为(　C　) A.(-,+∞) B.(-1,1) C.(-,1) D.(0,1) 解析:因为f(x)=()x-m的图像经过第一、第二、第四象限,所以0<m<1, 又f(m)=()m-m,该函数为(0,1)上的减函数,故-<f(m)<1.故选C. 5.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图像经过点P(2,),则a=　　　　,f(-1)=　　　　.  解析:由题意得=a2,得a=, 所以f(x)=()x,所以f(-1)=()-1=. 答案:　 考点一　指数幂的运算 1.下列根式与分数指数幂的互化,正确的是(　　) A.-=(-x B.=- C.(=(xy≠0) D.=(x<0) 解析:对于A,-=-,故A错; 对于B,==,故B错; C正确; 对于D,==(-x(x<0),故D错.故选C. 2.计算(2)0+2-2×(2-(0.01)0.5=　　　　.　 解析:原式=1+×(-(=1+×-=1+-=. 答案: 3.化简:(·(a>0,b>0)=　　　　.　  解析:原式=2×==. 答案: 4.已知14a=7b=4c=2,则-+=　　　　.  解析:因为14a=2,所以=14,同理,=7,=4,所以===8=23. 所以-+=3. 答案:3 5.若+=3,则的值是　.  解析:因为+=3, 所以(+)2=9, 所以x+x-1+2=9,即x+x-1=7, 所以(x+x-1)2=49, 所以x2+x-2=47, 所以= ==. 答案: (1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂, 以便