第2章 第12节 定积分的概念及简单应用 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第12节　定积分的概念及简单应用 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.定积分 (1)定积分的相关概念 一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),其图像如图所示. 将[a,b]区间分成n份,分点为: a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b. 第i个小区间为[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最大,设 S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,容易验证,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点δi,S′=f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δxi+…+f(δn)Δxn的值也趋于该常数A,我们称A是函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=A. 其中叫作积分号,a叫作积分的下限,b叫作积分的上限,f(x)叫作被积函数. (2)定积分的几何意义 条件 f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)<0 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a,b] 上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 (3)定积分的基本性质 ①kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数); ②[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx; ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b). 2.微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式) 定理所满足的条件 ①f(x)是区间[a,b]上的连续函数; ②F′(x)=f(x); 结论:f(x)dx=F(b)-F(a). 记法:f(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a). 3.定积分在物理中的应用 变速 直线 运动 如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v=v(t)(v(t)≤0),那么物体从时刻t=a 到t=b所经过的路程为s=-v(t)dt 变力 做功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b),那么变力F(x)所做的功为F(x)dx 1.定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值为零. 2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,有 (1)若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0. 1.(ex+2x)dx等于(　C　) A.1 B.e-1 C.e D.e+1 解析:(ex+2x)dx=(ex+x2)|=e. 故选C. 2.给出如下命题: ①(-1)dx=1dt=b-a(a,b为常数,且a<b); ②dx=dx=; ③f(x)dx=2f(x)dx(a>0). 其中正确命题的个数为(　B　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由于(-1)dx=a-b,1dt=b-a,所以①错误;由定积分的几何意义知,dx和dx都表示半径为1的圆面积的,所以都等于,所以②正确;只有当函数f(x)为偶函数时,才有f(x)dx=2f(x)dx,所以③错误.故选B. 3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　D　) A.2 B.4 C.2 D.4 解析:如图,y=4x与y=x3的交点为A(2,8),图中阴影部分即为所求图形.S阴=(4x-x3)dx=(2x2-x4)|=8-×24=4.故选D. 4.汽车以v=(3t+2)m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是　　　　m.  解析:s=(3t+2)dt=(t2+2t)|=×4+4-(+2)=10-=(m). 答案: 5.已知f(x)=则f(x)dx的值为　　　　.  解析:f(x)dx=x2dx+1dx=|+x|=+1=. 答案: 定积分的计算 1.(x+)dx等于(　B　) A.e2 B. C. D. 解析:(x+)dx=(x2+ln x)|=e2+ln e-×12-ln 1=.故选B. 2.定积分|x-1|dx等于(　A　) A.1 B.-1 C.0