第2章 第11节 第一课时 导数与函数的单调性 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第11节　导数在研究函数中的应用 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 2.借助函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 1.函数的单调性与导数 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 ①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间上是增加的; ②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间上是减少的; ③如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数. (2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不变号. 2.函数的极值与导数 (1)函数的极大值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0) 为函数的极大值. (2)函数的极小值 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x) 的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点. (3)求函数y=f(x)的极值点的步骤 ①求出导数f′(x); ②解方程f′(x)=0; ③对于方程f′(x)=0的每一个解x0,分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定极值点: 如果f(x)在x0两侧的符号“左正右负”,那么x0为极大值点; 如果f(x)在x0两侧的符号“左负右正”,那么x0为极小值点; 如果f′(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点. 3.函数的最值与导数 求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 4.利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式y=f(x)并确定定义域; (2)求导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)判断使f′(x)=0的点是极大值点还是极小值点; (4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中作答. 1.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)(　C　) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 解析:导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个是极大值点,第二个与第四个是极小值点.故选C. 2.函数g(θ)=cos θ+θsin θ在区间(0,)上(　A　) A.单调递增 B.单调递减 C.有增有减 D.无法判定 解析:当0<θ<时,g′(θ)=-sin θ+sin θ+θcos θ=θcos θ>0,所以函数g(θ)在区间(0,)上单调递增.故选A. 3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　B　) A.1-e B.-1 C.-e D.0 解析:因为f′(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,e]时,f′(x)<0.所以当x=1时,f(x)取得最大值ln 1-1=-1.故选B. 4.函数f(x)=(5-x)ex的单调递减区间是(　D　) A.(-∞,4) B.(0,4) C.(1,5) D.(4,+∞) 解析:由f′(x)=(4-x)ex<0,得x>4.故选D. 5.已知函数f(x)=x3+ax2+4x+8在R上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:f′(x)=3x2+2ax+4,由题意可知f′(x)≥0恒成立,因此Δ=(2a)2-4×3×4≤0,解得-2≤a≤2. 答案:[-2,2] 第一课时　导数与函数的单调性 不含参数的函数的单调性 1.函数f(x)=3+xln x的单调递减区间是(　B　) A.(,e) B.(0,) C.(-∞,) D.(,+∞) 解析:因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=ln x+x·=ln x+1,令f′(x)<0,解得0<x<,故f(x)的单调递减区间是(0,).故选B. 2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(　B　) A.f(x)=x+ B.f(x)=xex C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x 解析:对于A,f′(x)=1-,f′(x)>0,得x>1或x<-1,所以f(x)在(-∞,-