第2章 第10节 导数的概念及计算 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第10节　导数的概念及计算 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=,y= 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数的导数,会使用导数公式表. 1.函数的平均变化率 (1)概念:对于函数y=f(x),=,叫作函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率. (2)几何意义:函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率. (3)物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2]上的平均速度. 2.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 ①定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0),即f′(x0)==. ②几何意义 函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)=为f(x)的导函数. 3.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 导函数 y=c(c是常数) y′=0 y=xα(α为实数) y′=αxα-1 y=ax(a>0,a≠1) y′=axln a 特别地(ex)′=ex y=logax(a>0,a≠1) y′= 特别地(ln x)′= y=sin x y′=cos x y=cos x y′=-sin x y=tan x y′= y=cot x y′=- 4.导数的运算法则和复合函数的导数 (1)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); ②[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); ③[]′=(g(x)≠0). (2)复合函数的导数 复合函数y=f(ax+b)的求导法则为[f(ax+b)]′=af′(ax+b). 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论: (1)()′=-; (2)()′=; (3)[]′=-(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 1.函数f(x)=ex+x2-2x的图像在点(0,f(0))处的切线方程为(　A　) A.x+y-1=0 B.x+y+1=0 C.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0 解析:因为f(x)=ex+x2-2x,所以f′(x)=ex+2x-2,所以f′(0)=-1.又f(0)=1,所以所求切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0.故选A. 2.下列求导数运算正确的是(　B　) A.(cos)′=-sin B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x+)′=1+ 解析:由于cos=,因此(cos)′=0,故A错误;(log2 x)′=,故B正确;(3x)′=3xln 3,故C错误;因为(x+)′=x′+()′=1-,因此D错误.故选B. 3.设f(x)在x=x0处可导, 且=1,则f′(x0)=(　C　) A.1 B.3 C. D.0 解析:= 3=3f′(x0)=1, 所以f′(x0)=.故选C. 4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=　　　　.  解析:由于f′(x)=,故f′(1)==,解得a=1. 答案:1 5.若函数f(x)=ln(2x-1),则f′(2)=　　　　.  解析:f′(x)=, 因此f′(2)==. 答案: 导数的运算 1.已知函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1),则f′(2)的值为(　D　) A.-2 B.0 C.-4 D.-6 解析:法一　由题意f(1)=f′(1)+2+2f(1),化简得f(1)=-f′(1)-2, 而f′(x)=2f′(1)x+2,所以f′(1)=2f′(1)+2,得f′(1)=-2,故f(1)=0, 所以f(x)=-2x2+2x,所以f′(x)=-4x+2,所以f′(2)=-6.故选D. 法二　函数f(x)=f′(1)x2+2x+2f(1)的导数为f′(x)=2f′(1)x+2,即f′(1)=2f′(1)+2, 解得f′(1)=-2,因此f′(x)=-4x+2,f′(2)=-6.故选D. 2.已知f(x)=,则f′()=(　D　) A.-2-ln 2 B.-2+ln 2 C.2-ln 2 D.2+ln 2 解析:依题意有 f′(x)=, 故f′()==2+ln 2.故选D. 3.(2