第2章 第9节 函数模型及其应用 -2023高考理科数学一轮复习【导与练】高中总复习第1轮教师用书word（老教材，北师大版）

第9节　函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的差异. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=(k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数, a>0且a≠1,b≠0) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数型模型 f(x)=axn+b (a,b,n为常数,a≠0,n≠0) “对勾”函数模型 y=x+(a>0) 2.三种函数模型性质的比较 　　　函数 性质　　　 y=ax(a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大 逐渐表现为 与y轴平行 随x的增大 逐渐表现为 与x轴平行 随n值变化 而各有 不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax< xn<ax 1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. 2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值: (1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减. (2)当x>0时,x= 时取最小值2, 当x<0时,x=- 时取最大值-2. 1.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如表所示的一组数据: x -2 -1 1 2 3 y 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　D　) A.y=a+bx B.y=a+ C.y=a+logbx D.y=a+bx 解析:在平面直角坐标系中画出(x,y)表示的点,根据点的特征可知,当自变量每增加1时,y的增加是不相同的,所以不是线性增加,排除A;由图像不具有反比例函数特征,排除B;因为自变量有负值,排除C; 当自变量增加到3时,y增加的很多,所以符合指数函数的增加特征,D正确.故选D. 2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)(　B　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:设至少要洗x次,则(1-)x≤,所以x≥≈3.322,因此至少需洗4次.故选B. 3.人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB,则有f(x)=10lg ,则90 dB的声音与60 dB的声音强度的比值为(　B　) A.100 B.1 000 C. D. 解析:设90 dB的声音与60 dB的声音强度分别为x1,x2,则f(x1)=90,即10lg =90,解得x1=1.由f(x2)=60,即10lg =60,解得x2=1.因此所求强度之比为==1 000.故选B. 4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为　　　　m3.  解析:设该职工用水x m3时,缴纳的水费为y元,由题意得y= 则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13. 答案:13 5.某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大,销售单价应定为　　　　元.  解析:由题意得该桶装水经营部每日利润为W(x)=(-30x+450)(x-5)-420,整理得W(x)=-30x2+600x-2 670=-30(x2-20x)-2 670,则当x=10时,利润最大. 答案:10 利用图像刻画变化过程 1.设甲、乙两地的距离为a(a>0),某人骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则此人从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(　D　) 解析:y为此人从出发到返回原地所经过的路程,而不是位移,故排除A,C,又因为他在乙地休息