课后提升练(四) 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课后提升练(四)　空间直角坐标系　空间向量运算的坐标表示 1．已知a＝(1, 1, 0)，b＝(0, 1, 1)，c＝(1, 0, 1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 A　解析：∵p＝a－b＝(1, 0, －1)，q＝a＋2b－c＝(0, 3, 1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. 2．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　　) A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不能确定 D　解析：向量的坐标与B点的坐标不同．由于A点的坐标未知，故无法确定B点坐标． 3．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝，所以＝－λ.解得λ2＝，所以|a|＝＝. 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为______________，的坐标为________________． 答案：(0，2，1)　(2，2，1) 解析：因为A(0，0，0)，D1(0，2，1)，C1(2，2，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，2，1)． 5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则c＝________(用向量a，b表示)，实数λ＝__________． 答案：a＋b　 解析：∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)， ∴解得 ∴c＝a＋b，λ＝3x－2y＝. 6．已知向量a＝(1, －3, 2)，b＝(－2, 1, 1)，点A(－3, －1, 4)，B(－2, －2, 2)． (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 故|2a＋b|＝＝5. (2)假设存在点E，使得⊥b.设＝t，t∈R，则＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)， 若⊥b，则·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝， 因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为(－，－，)． 7．(2020·北京东直门中学高二上期中)已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则·取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(，，) C　解析：点Q在直线OP上运动，设＝λ＝(λ，λ，2λ)(λ∈R)，则＝－＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴·＝6(λ－)2－，当λ＝时，·取得最小值－，此时，Q(，，)． 8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________． 答案： 解析：建系如图，则C1(0，1，2)，D(1，0，1)，A1(0，0，2)，C(0，1，0)． ∴＝(1，－1，－1)，＝(0，1，－2)． ∴cos〈，〉＝＝＝. 9．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 解：以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)． 则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N(0，，1)． (1)＝(1，－1，1)，＝(0，－，1)， ∴||＝＝，||＝＝， 故BM的长为，BN的长为. (2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN， 而cos∠MBN＝cos〈，〉＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， 故S△BMN＝×××＝， 即△BMN的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $