课后提升练(三) 空间向量基本定理（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课后提升练(三)　空间向量基本定理 1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ C　解析：对于选项A，由＝x＋y＋z(且x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面． 2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b＋c D．－a－b＋c A　解析：＝＋＝＋(＋)＝c＋b－a. 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 B　解析：＝＋＋， ＝＋＝－(＋)，设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·(－－)＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故AC1⊥，即AC1与CE垂直． 4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝__________，y＝__________． 答案：2　－2 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc， 于是有解得 5．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________.(用a，b，c表示) 答案：－a＋b＋c 解析：＝＋＝－＋(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c. 6．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量； (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c. (2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， ∴|a＋b＋c|＝，∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. 7．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(，，) A　解析：由已知＝＝(＋)＝[＋(＋)]＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋，而＝x＋y＋z，所以x＝y＝z＝. 8．若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝__________. 答案： 解析：|a－b＋2c|＝＝＝. 9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. (1)求CE与AF所成角的余弦值； (2)求证：BD1⊥EF. (1)解：＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－. 因为·＝0，·＝0，·＝0， 所以·＝(－)·(＋)＝. 又||＝||＝，所以cos〈，〉＝. 所以CE与AF所成角的余弦值为. (2)证明：＝＋＝－＋， ＝＋＝－(＋)，所以·＝0， 所以⊥，即BD1⊥EF. 学科网（北京）股份有限公司 $