2.1.2 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{n|0<n＜3}，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n　　　　　　　　 B．m<n C．m＝n D．m≤n A　[因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．所以m>n.] 2．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 D　[当a<0时，a＋≥4不成立，故选项A错误；当a＝1，b＝1时，a2＋b2<4ab，故选项B错误；当a＝4，b＝16时，<，故选项C错误；由基本不等式可知选项D正确．] 3．(多选题)下列条件其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 ACD　[当，均为正数时，＋≥2，∴只需a，b同号即可，∴ACD均可以．] 4．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ A　[设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝＝＝<＝. 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>A．] 5．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x＞ D．x≥ B　[∵这两年的平均增长率为x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b). ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b). 由题设a＞0，b＞0. ∴1＋x＝≤＝1＋. ∴x≤，当且仅当1＋a＝1＋b即a＝b时等号成立．] 6．已知a＞b＞c，则 与的大小关系是________． ≤　[∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0. ∴＝≥. 当且仅当a－b＝b－c即a＋c＝2b时，等号成立．] 7．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1. 证明　因为a2＋x2≥2ax，b2＋y2≥2by(当且仅当a＝x，b＝y时两等号分别成立)， 所以a2＋x2＋b2＋y2≥2ax＋2by. 又因为a2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 所以2ax＋2by≤2，所以ax＋by≤1. 8．设x＞0，求证：x＋≥. 证明　因为x＞0，所以x＋＞0. 所以x＋＝x＋ ＝x＋＋－≥2－＝. 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立． 故x＋≥. 9．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1. 求证：＋＋<＋＋. 证明　∵＋≥2＝2(当且仅当a＝b时等号成立)， ＋≥2 ＝2(当且仅当b＝c时等号成立)，＋≥2 ＝2(当且仅当a＝c时等号成立)， ∴2≥2(＋＋)， 即＋＋≥＋＋(当且仅当a＝b＝c时等号成立). ∵a，b，c为不等正实数，∴＋＋<＋＋. 10．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的是(　　) A．＋<1 B．＋≥1 C．＋<2 D．＋≥2 B　[因为ab≤≤22＝4， 所以＋≥2≥2＝1.当且仅当a＝b时等号成立．] 11．(多选题)设a，b为非零实数，下列不等式成立的是(　　) A．≥ab B．≥ C．≥ D．＋≥2 AB　[由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知选项A正确；＝＝≥＝＝，可知选项B正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知选项C不正确；当a＝1，b＝－1时，可知选项D不正确．] 12．设正数x，y，z满足(x＋y)(x＋z)＝2，则xyz(x＋y＋z)的最大值是________． 1　[∵(x＋y)(x＋z)＝2，∴x2＋xy＋xz＝2－yz. ∴xyz(x＋y＋z)＝yz(x2＋xy＋xz)＝yz(2－yz)≤＝1. 当且仅当yz＝2－yz，即yz＝1时取等号．] 13．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求证：＋≥3＋2. 证明　方法一 ∵x>0，y>0，且x＋2y＝1，∴＋＝＋ ＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即x＝y时取等号． 又∵x＋2y＝1，∴x＝－1，y＝时取等号． 方法二 ∵x>0，y>0，且x＋2y＝1. ∴＋＝(x＋2y)＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2. 当且仅当＝时，等号成立． 又x＋2y＝1，故此时x＝－1，y＝，所以＋≥3＋2. 14．若0<x<1，a>0，b>0.求证：＋≥(a＋b)2. 证明　左边＝(x＋1－x)＝a2＋b2＋b2＋a2≥a2＋b2＋2＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝右边， 当且仅当b2＝a2， 即x＝时等号成立，∴＋≥(a＋b)2. 学科网（北京）股份有限公司 $