专题09 指数与对数-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题09 指数与对数 【考点预测】 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 2．运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1．次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2．两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点五、对数概念 1．对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 2．对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点六、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点七、对数公式 1．对数恒等式： 2．换底公式 【典型例题】 例1．（2022·江苏·高一单元测试）已知，均为正实数，若，，则（    ） A．或2 B． C． D．1 【答案】A 【解析】令，则，所以，即， 解得或，即或，所以或， 因为，代入得或， 所以，或，， 所以或. 故选：A 例2．（2022·全国·高一课时练习），则___________. 【答案】 【解析】因，则，即，解得， 所以. 故答案为： 例3．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）求值： (1) (2). 【解析】（1）原式=； （2）原式 . 例4．（2022·江苏·高一单元测试）设均为正数，且. (1)试求之间的关系. (2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）. (3)比较，，的大小. 【解析】（1）设，由、、均为正数得. 故取以为底的对数，可得. ∴，，. ， ∴、、之间的关系为. （2）. 由，得，从而. 而，. 由知， ∴. 从而所求正整数为3. （3）∵ . 而，，，，∴. 又∵， 而，，，，∴. 故有. 例5．（2022·全国·高一课时练习）（1）若，求的值； （2）已知，求的值． 【解析】（1）， 则． （2）， 且, ． 【过关测试】 一、单选题 1．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，则（    ） A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以，所以， 故选：C. 2．（2022·全国·高一课时练习）若，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】对等号两边同时取对数，得， 即，令，则， 所以， 即的最大值是4（此时，对应）. 故选：D 3．（2022·江苏·高一单元测试）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得， ， 因为，所以. 故选：D. 4．（2022·江苏·高一单元测试）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选：A 5．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）如果方程的两根为、，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，、是一元二次方程的两根， 依据根与系数的关系得，，∴. 故选：A. 6．（2022·江苏扬州·高一期中）天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.75．“天津四” 的星等是1.5．“天津四”的亮度是“心宿二”的倍，则与最接近的是（    ）（当较小时， ） A．1.24 B．1.26 C．1.25 D．