3.1.2椭圆的简单几何性质-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

直线 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 实验引入 l 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等. l 观察：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 下面我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质. l 新知探索 l 思考1：观察图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程(代数方法)确定出它的具体边界吗？ 由方程，可知 所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式，即. 同理有，即. 这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里. l 新知探索 l 问题1：观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.如何利用方程说明椭圆的对称性？ 在椭圆的标准方程中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.同理，以代方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.以代，以代，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点 也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称. l 新知探索 l 思考2：你认为椭圆上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 综上，椭圆关于轴、轴都是对称的.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. l 研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置. 新知探索 l 在椭圆的标准方程中，令，得.因此，是椭圆与轴的两个交点.同理，令，得.因此，是椭圆与轴的两个交点. 因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 新知探索 l 思考3：观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ l 新知探索 l 如图，椭圆的长半轴长为，半焦距为.利用信息技术，保持长半轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现，越接近，椭圆越扁平.类似地，保持不变，改变的大小，则越接近，椭圆越扁平；