3.2.1 双曲线的标准方程-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

3.2.1 双曲线的标准方程 【知识点梳理】 知识点一、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 知识点诠释： 1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点二、双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程 ∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得： 两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中 这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线． 当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 知识点诠释： 1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． 2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本