1.3.1 不等式的性质（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h或d≥10 m　　　　　 B． C．v≤120 km/h　　　　　　　 D．d≥10 m B　[最大限速与车间距是同时的．] 2．下列关系式中，正确的是(　　) A．a>b⇒a2>b2　　　　 B．a>b>0⇒< C．a>b⇒ac2>bc2　　　　　　　 D．a>b⇒a－c<b－c B　[∵a>b>0，∴>0.∴a·>b·， 即>.] 3．(2020·吉林德惠实验中学高二月考)已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，则下列不等式中成立的是(　　) A．ab＞bc　　　　　　　 B．ac＞bc C．ab＞ac　　　　　　　 D．a|b|＞|b|c C　[∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0， ∴a＞0，c＜0．∴ab＞ac.] 4．若A＝＋3，B＝＋2，则A，B的大小关系是(　　) A．A>B　　　　　　　 B．A<B C．A≥B　　　　　　　 D．不确定 A　[∵A＝＋3，B＝＋2， ∴A－B＝－＋1＝(－)2＋≥. ∴A－B>0，即A>B.] 5．(多选题)下列四个结论，正确的是(　　) A．a>b，c<d⇒a－c>b－d B．a>b>0，c<d<0⇒ac>bd C．a>b>0⇒a3>b3 D．a>b>0⇒> AC　[利用不等式的同向可加性可知选项A正确．根据不等式的性质可知ac<bd，故选项B不正确．根据不等式性质七可知选项C正确．由a>b>0可知a2>b2>0，所以<.所以选项D不正确．] 6．若x∈R，则与的大小关系为______________． ≤　[∵－＝＝≤0，∴≤.] 7．若1<α<3，－4<β<2，则α－β的取值范围是________． (－，)　[∵1<α<3，∴<α<. ∵－4<β<2，∴－2<－β<4. ∴－<α－β<.] 8．若定义＝ad－bc，则与的大小关系是__________________．(a，b∈R，a≠b) >　[由定义知 －＝a2＋b2－(ab＋ab)＝(a－b)2. ∵a≠b，∴(a－b)2>0. ∴>.] 9．已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小． 解　(an＋bn)－(an－1b＋abn－1) ＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a) ＝(a－b)(an－1－bn－1)， ①当a＞b＞0时，an－1＞bn－1， ∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0. ②当0＜a＜b时，an－1＜bn－1， ∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0. ∴对任意a＞0，b＞0，a≠b， 总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0. ∴an＋bn＞an－1b＋abn－1. 10．(1)已知a<b<0，求证：<. (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 证明　(1)－＝＝， ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0. ∴<0.∴<. (2)∵<，∴－<0，即<0. ∵a>b，∴b－a<0.∴ab>0. 11．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则(　　) A．d>b>a>c　　　　　　　 B．b>c>d>a C．d>b>c>a　　　　　　　 D．c>a>d>b A　[因为a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c， 所以2a>2c，即a>c.因此b<d. 因为a＋c<b，所以a<b. 综上可得c<a<b<d.] 12．(多空题)若－1<a<b<0，则，，a2，b2四个数中，最大的是________，最小的是________． a2　　[方法一　因为－1<a<b<0， 所以1＞－a>－b>0.所以a2>b2>0. 因为a<b<0，所以>0. 所以a·<b·<0，即0>>. 所以a2>b2>>. 方法二　特殊值法，取a＝－，b＝－， 则＝－2，＝－3，a2＝，b2＝.] 13．(开放性问题)若a，b，c，d均为实数，使不等式>>0和ad<bc都成立的一组值(a，b，c，d)是____________________．(只要举出适合条件的一组值即可) (2, 1，－1，－2)　[由>>0知，a，b同号，c，d同号，且－＝>0．由ad<bc，得ad－bc<0， 所以bd<0.所以在取(a，b，c，d)时只需满足以下条件即可：①a，b同号，c，d同号，b，d异号；②ad<bc.令a>0，b>0，c<0，d<0，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则d<＝－.取d＝－2，则(2，1，－1，－2)满足要求．] 14．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，那么甲、乙两人谁先到达教室？ 解　设步行速度与跑步速