培优专题12 角中的动点问题-【核心考点突破】2022-2023学年七年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

培优专题12 角中的动态问题 类型一：运动的三角尺问题 1．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】 如图1，一套三角板如图拼在一起，我们将三角板COD绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转180°． 【解决问题】 （1）在旋转过程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之间有怎样的数量关系？ （2）当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由． （3）运动过程中，如图2，形成的三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，当其中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是∠AOB的“优线”． ①第（2）问中旋转后的射线OC是“优线”吗？为什么？ ②在整个旋转过程中，若旋转时间记为t秒，当射线OC是“优线”时，请直接写出所有满足条件的t值． 【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由见解析；（3）①是，理由见解析；②t=2，3，4，9，12 【分析】（1）根据题意画出图形可得结论； （2）分别计算出角的度数可得结论； （3）①根据“优线”的定义可判断；②根据题意全面考虑所有可能并分类讨论可得t的值． 【详解】（1）如图，当OC在∠AOB内部时，∠AOC+∠BOC=∠AOB， 当OC在∠AOB外部时，∠AOC-∠BOC=∠AOB， ∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB （2）有，理由如下： 射线OD平分∠AOB，射线OB平分∠COD． 当运动时间为9秒时，∠AOC=15°×9=135° 则∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45° 因为∠COD=90°， 所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45° ∠BOC=∠BOD=45° 所以射线OB平分∠COD 又因为∠BOD=45°=∠AOB 所以射线OD平分∠AOB （3）①是，理由如下： 第（2）问中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45° 则∠AOB=2∠BOC 所以OC是∠AOB的“优线”． ②由题意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t， 当∠BOC＝2∠AOC时，∠AOC＝30°， ∴15t＝30，解得t＝2； 当∠AO＝2∠AOC时，∠AOC＝45°， ∴15t＝45，解得t＝3； 当∠AOC＝2∠BOC时，∠AOC＝60°， ∴15t＝60，解得t＝4； 当∠AOB＝2∠BOC时，∠AOC＝135°， ∴15t＝135，解得t＝9； 当∠AOC＝2∠AOB时，∠AOC＝180°， ∴15t＝180，解得t＝12． 综上，t＝2，3，4，9，12． 【点睛】本题主要考查了三角尺中角度的计算，几何图形中角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键． 2．（2022·河南·郑州中学七年级期末）(1)探究：在①15°，②25°，③35°，④45°，⑤65°中，乐乐同学利用一副三角板能画出来的角是______；（填序号） (2)在探究过程中，爱动脑筋的乐乐想起了图形的运动方式有多种．如图1，她先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点，与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA，OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向每秒旋转5°（如图2），当边OB第一次落在射线OF上时停止，是否存在一个时间t（秒）使∠BOC＝3∠AOD？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①④ (2)存在当或时，，理由见解析 【分析】（1）根据三角板的特点求解即可； （2）分两种情况当OA在∠DOE内时，当OA在∠DOE外部时，利用角之间的关系求解即可． （1） 解：∵一副三角板有的度数为30°，45°，60°，90°， ∴用一副三角板可以画出的角的度数为15°，30°，45°，75°，90°，105°，135°等等，不能画出25°，35°，65°， 故答案为：①④； （2） 解：存在当或时，，理由如下： 由题意得：，，， ∴，， 分两种情况： 当OA在∠DOE内时，如图2-1所示， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； 当OA在∠DOE外部时，如图2-2所示 ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴符合题意； ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查了三角板和几何中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 3．（2022·福建福州·七年级期末）一副三角尺（分别含∠B＝∠AOB＝45°，∠A＝90°和∠D＝30°，∠COD＝60°，∠C＝90°）按如图所示摆放使得B、O、D三点共线．将三角尺ABO绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转，当边AO与OD重合时停止运动，设三角尺ABO的运动时间为t秒． (1)当t＝10时，∠AOD＝ °． (2)求出当t为何值时，边A