第20课 垂径定理-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第20课 垂径定理 ( 目标导航 ) 课程标准 （1）理解圆的对称性； （2）掌握垂径定理及其推论； （3）学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． ( 知识精讲 ) 知识点01 垂径定理 1．垂径定理 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的 . 2．推论 平分弦(不是直径)的直径 ，并且平分弦所对的 . 【注意】 (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点02 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4） . 【注意】 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径) ( 能力拓展 ) 考法01 应用垂径定理进行计算与证明 【典例1】如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【即学即练】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．（4﹣）米 B．2米 C．3米 D．（4+）米 【典例2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． (1)求证：AC＝BD； (2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长． 【即学即练】如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长． 考法02 垂径定理的综合应用 【典例3】如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即）为0.5米．则秋千链子的长为（    ） A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米 【即学即练】工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（    ）mm． A．4 B．6 C．7 D．8 【典例4】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． (1)求所在圆的半径r的长； (2)当洪水上升到跨度只有30米时，要采取紧急措施．若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？并说明理由． 【即学即练】如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE． （1）求证:AP = AO； （2）若弦AB = 24，求OP的长． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，⊙O的半径为4，弦心距OC＝2，则弦AB的长为（    ） A．3 B． C．6 D． 2．如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 3．小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（    ） A． B． C． D． 4．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 5．下列语句中不正确的有（ 　 ）   ①长度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧；⑤半圆是圆中最长的弧；⑥不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 7．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点