专题06 二次函数恒成立与有解问题-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题06 二次函数恒成立与有解问题 考点预测： 一、一元二次不等式在实数集上的恒成立 1、不等式对任意实数恒成立⇔或 2、不等式对任意实数恒成立⇔或 【注意】对于二次不等式恒成立问题， 恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法 方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集， 可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； 方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为， 则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即． 三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法 不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 2、对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 【典型例题】 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为关于的不等式在上有解， 的最大值为4 所以，解得 故答案为： 例2．（2022·江苏·南京市第二十九中学高一阶段练习）（1）若不等式的解集为，求实数，的值； （2）若不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）若不等式解集为， 则，和是二次方程的两个实数根， ∴，，求得实数，. （2）若不等式对一切实数都成立， 当，即时，，成立， 当时，， 解得：. 综上可得，， 故的取值范围为. 例3．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知､是一元二次方程的两个实数根． (1)若､均为正根，求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根､故，即，且，解得：． （2）由题意，当，即时，有 解得：，与矛盾. 故不存在实数k，使得成立 例4．（2022·全国·高一课时练习）若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a