专题05 利用基本不等式求最值-2022-2023学年高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题05 利用基本不等式求最值 考点预测： 1、重要不等式 ，有 ， 当且仅当时，等号成立． 2、基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立． 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立． （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立． （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立． 4、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值． 【典型例题】 例1．（2022·广东·东莞实验中学高一阶段练习）（1）已知x∈R，比较与的大小； （2）已知正数a，b，c，满足，证明：． 【解析】(1) 因为， 所以， 当时，，，所以，即， 当时，，，所以，即， 当时，，，所以，即， 当时，，，所以，即， 当时，，，所以，即， 综上，当或时，， 当或时，， 当时，； (2)因为，，时， ，当且仅当时等号成立； ，当且仅当时等号成立； ，当且仅当时等号成立； 所以，当且仅当时等号成立； 所以，当且仅当时等号成立； 所以，当且仅当时等号成立； 又， 所以，当且仅当时等号成立. 例2．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高一阶段练习）（1）求的最小值，并求取得最小值时的值； （2）若正实数、满足，求的最小值. 【解析】（1）因为，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数取最小值； （2）由已知可得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 例3．（2022·宁夏·银川二中高一阶段练习）已知正实数满足， (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，有， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为； （2）若恒成立，则， 因为， 当且仅当即时，取等号， 所以的最小值为9，即， 故实数a的取值范围是 例4．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）物流公司A拟在某城市港口建立某产品进口供货基地，该物流公司对周边商户、居民社区、道路、河道和水库、地区气候等信息进行调研后．拟在一块矩形空地上建造大型仓库（如图所示）进行产品的储存．已知需要建造的两个仓库占地面积（图示中空白部分）均为40000平方米，仓库四周及中间（阴影部分）硬