专题08 二次函数中的45度角-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题08 二次函数中的45度角 1．在平面直角坐标系中点A（0，6）、B（6，0），AC、BD分别垂直于y轴、x轴，CA＝3，∠COD＝45°，二次函数y＝﹣x2+m与线段CD有两个公共点时，m的取值范围是____． 【答案】 【分析】将以O为旋转中心旋转，得到，证明，得到，再根据点C的坐标推出点D的坐标，由二次函数图象与线段有两个交点，列出满足条件的不等式组，计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴将以点O为旋转中心旋转，得到，作图如下： ∴ 又∵旋转 ∴,， ∴ 在与中： ∴ ∴ ∵轴，轴，且AC=3 ∴ ∴ 设点,则： ∴，， ∴ 解得： ∴ 设线CD所在的直线表达式为：， 将，代入得： ，解得： ∴线段CD所在的直线表达式为：（） 又∵二次函数与线段CD有两个公共点 ∴ ∴ 又∵有两个公共点 ∴，即 解得： 又∵与线段CD相交，，且的对称轴为： ∴ 解得： ∴m的取值范围是 【点睛】本题考查三角形的全等的判定和性质、一元二次方程的判别式，以及二次函数与不等式的综合，根据相关知识点解题是关键． 2．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标； (3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由对称轴为直线则设抛物线代入点A、C的坐标求出解析式； （2）过作，且，过作，过C作于，过作于，构建，即可得出，求得直线的解析式为：与抛物线解析式联立即可得出P点坐标； （3）设，，分以AF为对角线时以AN为对角线时， 以为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题． （1） 解：∵抛物线对称轴为直线， ∴设抛物线， 把，代入得： ， ∴， ∴； （2） 如图过作，且，过作，过C作于，过作于， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3） ∵， ∴， 依题意设，， ∵，对称轴为直线， ∴， ∵，，，， 当以AF为对角线时，， ∴， ∴， 当以AN为对角线时，， ∴， ∴， 当以为对角线时，， ∴， ∴，