专题07 二次函数中的等角问题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题07 二次函数中的等角问题 1．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A（－1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G． (1)求抛物线的解析式及对称轴； (2)抛物线的对称轴上存在点P，且点P在x轴上方时，满足∠APB=∠ABC，求PG的长． 【答案】(1)，对称轴为x=1 (2)2+ 【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，根据二次函数的性质即可求得对称轴； （2）先根据抛物线解析式求得OB=OC=3，并求出∠ABC=45°，再根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出∠MPB=∠MBP，则由等腰三形判定得MP=MB，最后由勾股定理即可求解． （1）把A（－1，0）、C（0，3）分别代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∴对称轴为，∴抛物线的解析式为，对称轴为x=1． （2）令y=0得：，解得：，，∴OB=OC=3，∴∠ABC=45°，∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，∴∠PBA＝（180°－45°）＝67.5°，∴∠MPB＝∠APB＝22.5°，∵∠MBP=67.5°－45°=22.5°，∴∠MPB=∠MBP，∴MP=MB，在Rt△BMG中，BG=MG=2，由勾股定理可得：BM＝，∴MP＝，∴PG＝MG+MP＝2+． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，抛物线经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)点D在y轴上，且，求点D的坐标； (3)点P在直线AB上方的抛物线上，当△PAB的面积最大时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为（0，1）或（0，－1） (3)P（，） 【分析】（1）待定系数法即可得到结论； （2）过点A作轴，垂足为H，△AHB是等腰直角三角形．得，即可得到结论； （3）如图2，过点P作PG⊥x轴交直线AB于G，利用直线与抛物线的解析式，以及三角形面积公式列出二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答． （1） 解：由，令． ∴C（0，3）， ∴ ∵，点B在x轴负半轴上， ∴B（－1，0） 把A（2，3），B（－1，0）两点分别代入中， 得， 解得 ∴抛物线的解析式为： （2） ∵A（2，3），