专题05 二次函数中的直角三角形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题05 二次函数中的直角三角形 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴l为直线． (1)求该抛物线的表达式． (2)在对称轴l上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴l为直线，即可求得答案； （2）设，根据题意分别表示出，，，然后分三种情况：①当BC为斜边时；②当PB为斜边时；③当PC为斜边时；即可求得答案． (1) 解：∵对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的表达式为． (2) 解：存在点P，使为直角三角形． 设，令， 解得，． ∴B点坐标为，， 则，，， 在中， ①当BC为斜边时，有，， 解得：或； ②当PB为斜边时，有，， 解得：； ③当PC为斜边时，有，， 解得：； ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、会用代数思想和勾股定理解决直角三角形的存在性问题． 2．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，P为抛物线上任意一点． （1）求抛物线的解析式． （2）当是以为直角边的直角三角形时，求此时P点的坐标． 【答案】（1）；（2）点P或 【分析】（1）把点和点代入抛物线进行求解即可； （2）由（1）易得点B的坐标为，然后可设点P，进而根据题意可分当∠PCB=90°时和当∠PBC=90°时两种情况，最后根据勾股定理及两点距离公式进行求解即可． 【详解】解：（1）把点和点代入抛物线可得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）由（1）可得抛物线解析式为：， ∴当y=0时，则有，解得：， ∴点B， 设点P， 当是以为直角边的直角三角形时，可分： ①当∠PCB=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点P； ②当∠PBC=90°时，由勾股定理及两点距离公式可得： ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴点P， 综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，此时点P或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键． 3．已知抛物线y=a(x+4)(x-6)与x轴交于A,B两点（点A在B的左侧），顶点为P，且点P在直线y=2x+m上． （1）试用含m的代数式表示a; （2）