专题04 二次函数中的等腰直角三角形-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题04 二次函数中的等腰直角三角形 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，，，二次函数的图象经过C点，求二次函数的解析式． 【答案】y=x2-2x-2 【分析】过C点作x轴垂线，通过△AOB≌△CDA得出C点横纵坐标，再通过待定系数法求得b 【详解】如图所示， 过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°， ∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD． 在△AOB与△CDA中， ， ∴△AOB≌△CDA（ASA）， ∴CD=OA=1，AD=OB=2， ∴OD=OA+AD=3， ∴C（3，1）， ∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx-2上， ∴1=9+3b-2， 解得：b=-2， ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-2． 【点睛】本题考查三角形全等和二次函数图像性质，用方程把二者联系起来建立等式是关键． 2．设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形． （1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b2﹣4ac的值； （2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值． 【答案】(1)、4；(2)、12 【详解】试题分析：(1)、由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0；可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b2﹣4ac的值；(2)、当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=AB，据此列出方程，解方程求出b2﹣4ac的值． 试题解析：(1)、当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△＞0， ∴|b2﹣4ac|=b2﹣4ac， ∵AB=， 又∵CD=（a≠0）， ∴， ∴b2﹣4ac=， ∵b2﹣4ac≠0， ∴b2﹣4ac=4． (2)、如图，当△ABC为等边三角形时， 由（1）可知CE=AE=AB， ∴， ∵b2﹣4ac＞0， ∴， ∴b2﹣4ac=12． 考点：二次函数综合题． 3．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c>，